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ist dies eine Voraussetzung, wenn A' sich innerhalb eines hinreichend kleinen Ge- 

 bietes befindet. Aber auch, wenn X immer in demselben Sinne laufend aus diesem 

 Gebiete heraustritt, kann keiner der entsprechenden Punkte Y z. B. Y, seinen Be- 

 wegungssinn ändern. Jedem Punkte Y entsprechen nämlich q und nur q Punkte 

 A'; wenn nun Y., in einem Punkt Z, den Sinn änderte, würde er in einen Punkt 

 Z gelangen, den er früher innegehabt hatte, und es würde dann diesem Punkte, als 

 ein Punkt Y aufgefasst, wenigstens q -{- 1 Punkte A' entsprechen, jedenfalls wenn Z 

 hinreichend nahe an Zn gewählt wird. 



Wir wissen ferner nach unseren Voraussetzungen, dass Aj und einer der ent- 

 sprechenden Punkte z. B. Y^ in entgegengesetzten Sinne laufen. Daraus folgt aber, dass 

 auch jeder der entsprechenden z. B. Fg in entgegengesetzten Sinne von Aj laufen 

 muss. Mann kann nämlich den Punkt Yj die ganze Kurve durchlaufen lassen, 

 wodurch auch A'j entweder einen Teil der Kurve oder auch die ganze Kurve 

 einmal oder mehrmal durchläuft. Wenn nun während dieser Bewegung 1\ und 

 Yn sich in entgegengesetzten Sinne bewegt hätten, dann müssten V, und Y^ wenig- 

 stens einmal mit einander zusammenfallen, was gegen die Voraussetzungen streitet. 



Die Bedingung, dass die Kurve sich ein-eindeutig auf einen Kreis abbilden 

 lässt, ist jedenfalls erfüllt, wenn die Kurve eine Elementarkurve ist. Dasselbe gillt 

 aber auch im weiteren Umfange, so besonders wenn die Kurve rektifizierbar ist, 

 indem man dann offenbar die Kurve auf einen Kreis mit demselben Umfang wie 

 diese abbilden kann. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Kurve — mit Aus- 

 nahme einzelner Punkte — überall völlig stetig ist. Freilich setzt man hier 

 fürs erste voraus, dass die Kurve ganz im endlichen liegt. Stellt man aber noch 

 die Forderung, dass die Kurve endlicher Ordnung sei, dann hat sie auch nur 

 eine endliche Zahl von Bögen, welche ins unendliche gehen. Diese kann man durch 

 Kollineationen in endliche Bögen transformieren und dann die Bogenlängen im 

 Bilde ablesen'. 



Indem wir nun alle Punkte auf einem Kreise liegend annehmen, seien s, und 

 So die von einem bestimmten Nulpunkte A aus in einem bestimmten Sinne gemes- 

 senen Bögen ^A und AY. Die kleinsten positiven Reste von s^ und Sj mit dem 

 ganzen Kreisumfange p als Divisor, wählen wir als Koordinaten $ und tj in einem 

 rechtwinkligen Koordinatsysteme. In Übereinstimmung mit der Abhängigkeit von 

 Sj und Sj , wird dann innerhalb einer Kvadrate mit den Seiten p Bögen laufen, 

 deren jeder in einem Punkte des Umfange des Kvadrates seinen Anfang nimmt und 

 auch da endet. Auf dem Umfange werden sich p + <? +P + 7 Endpunkte vorfinden, 

 also wird die Zahl des Bögen p + </ sein. Jeder Bogen, der in einem Punkte von 

 f=o seinen Anfang nimmt, muss entweder in einem Punkte von ij = o oder auch 

 in einem Punkte von ç^p endigen, und jeder Bogen, der in tj = p seinen Anfang 

 nimmt, muss in )j = o oder ^^p endigen. Weil nun den Voraussetzungen zufolge 



' Ich benutze im folgenden den Beweis, der von A. K. Ehlung gegeben worden ist, sielic : Lidt 

 oni (let gralisUe Konespoiulaiiccpiiiicip, Nyt Tidsskr. f. Matli., 1906, S. 58. 



