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;; mit wachsende c iininer abniinnil, wird jeder Bogen von der Geraden ? = ); in 

 einem mul mir einem Funkle gescliniUen, und liiermil isl der Sal/, bewiesen. 



Es isl aus dem Beweise ersiciillicii, dass der Salz aucli nocli giltig ist, wenn 

 einer der Punlvte Y, die einem Punl<le X entsprechen, entweder beständig oder auch 

 nur für ein gewisses Intervall von ,Y ein festliegender Punkt ist; es kommt nur 

 darauf an, dass tj mit wachsenden f niemals wächst. 



Es ist noch zu bemerken, dass die Bedingung, dass die einem Punkt .V ent- 

 sprechenden Punkte Y nicht zusammenfallen dürfen, nur dazu benutzt wurde um 

 aus der Unglcichläufigkeit des Punktes A' und eines der ersprechenden Punkte Y 

 die Ungleichläufigkeil von A' and allen entsprechenden Y schliessen zu können. 

 Wenn man also das letztere im Voraus weiss, dann behält der Salz noch seine 

 Ciiltigkeit, auch wenn die einem und demselben X entsprechenden Punkte Y für 

 bestimmte A' zusammenfallen. Es kann in solchen Fällen auch geschehen, dass 

 einer der gefundenen Punkten mit einer gewissen Multiplicität zu rechnen ist; für 

 die Bestimmung derselben giebt der obige Beweis in jedem einzelnen Fall die 

 nöthigen Anhaltspunkte. Die im Satze erstgenannte Forderung, nämlich dass Y 

 (oder X) sich innerhalb eines endlichen Gebietes in einem bestimmten Sinne be- 

 wegen soll, wenn A' (oder Y) es thut, ist nach § 1 erfüllt, wenn A' einen Elemen- 

 tarbogen durchläuft und Y ein zu X gehöriger Tangentialpunkt ist, oder auch wenn 

 A' und F Schnitt[)unkte eines Elementarbogens mit einer beweglichen Tangente 

 eines zweiten Elementarbogens sind. 



Wir wollen nun den Satz auf einige für uns im folgenden wichtige Beispiele 

 anwenden. 



Erstes Beispiel: 



Es werde eine E 1 e m e n l a r k u r v e ß weder von einer anderen E 1 e - 

 m e n t a r k u r v e a noch von deren W e n d e t a n g e n t e n oder D o p p e 1 1 a n g e n - 

 ten geschnitten, und es habe jede Tangente von «, die überhaupt ß 

 schneidet, n Punkte mit derselben gemein. Die zwei Kurven haben 

 dann entweder keine oder auch 2 /<• (/i — Ï) Tangenten mit einander ge- 

 mein, wenn aus irgend einem Punkte von ß k Tangenten an a gehen. 



Aus den Voraussetzungen folgt, dass aus jedem Punkte X der Kurve ß k 

 Tangenten an a gehen, und dass jede solche Tangente die Kurve ß nochmals in 

 (n — 1) Punkten V schneidet. Man hat also ein {k(n~i); k{n~i)) Abhängigkeit 

 in X und }', und es können zwei Punkte Y, welche demselben Punkte A' entsprechen, 

 nicht zusammenfallen. Wenn aber / eine gemeinsame Tangente von u und ß ist, 

 welche ß in B berührt, dann werden die / naheliegenden Tangenten von «, die 

 überhaupt ß schneiden, dieselbe in Punkten schneiden, von welchen diejenigen, 

 welche nahe an B liegen in entgegengesetzten Sinne laufen. Wenn also wenig- 

 stens eine Tangente a und ß gemein ist, dann werden die Kurven 2k(n~1) Tan- 

 genten mit einander gemein haben. 



Insbesondere haben zwei Kurven zweiler Ordnung, welche keinen Punkt mit 



1). K. 1). Viilfiisl, Sflsk. Skr. 7. IlækUc, nnl.iividcnsk. <ib m:illic-m. Alil. Xl 2. 18 





