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einander gemein haben, entweder keine oder auch vier Tangenten mit einander 

 gemein'. 



Zweites Beispiel: 



Hat eine völlig stetige Kurve ;i-ter Ordnung einen (n- 2)-fachen 

 Punkt 0, dann gehen aus diesem Punkte entweder keine oder auch 

 zwei Tangenten, welche ausserhalb berühren. 



Es ist dieser Satz eine unmittelbare Folge des Korrespondenzsatzes. Ich be- 

 merke nur, dass man um den Satz auch in dem Falle aufrechthalten zu können, wo 

 ein Inflexionspunkt ist, die zugehörige Wendetangente als eine in einem Nach- 

 barpunkte zu 0, aber nicht in berührende Tangente auffassen soll. Ferner sei 

 bemerkt, dass in diesem Satze jede durch eine Spitze gehende Gerade als eine Tan- 

 gente betrachtet werden soll. Man erhält so beiläufig den Satz : 



Eine völlig stetige Kurve n-ter Ordnung mit einem (n — 2)-fachen 

 Punkte kann höchstens zwei Spitzen haben. 



Drittes Beispiel: 



Es habe eine völlig stetige Kurve n-ler Ordnung ohne Spitzen 

 einen (tj — 2)-fachen Punkt A, durch den zwei Tangenten gehen, die 

 auserhalb A berühren, und einen einfachen Doppelpunkt ß, du rch den 

 keine auserhalb B berührende Tangente geht; die Kurve wird dann 

 noch n — 3 einfache Doppelpunkte haben. 



Jede durch B gehende Gerade schneidet nämlich die Kurve in gleich vielen 

 und also in n — 2 Punkten (wobei ein Nachbarpunkt von A als von A verschieden 

 betrachtet wird); alle diese Punkte müssen in demselben Sinne laufen, weil sie 

 nicht zusammenfallen können. Sind nun zwei Kurvenpunkte A' und Y so verbun- 

 den, dass die Geraden AX und ß F sich in einem Kurvenpunkte Z schneiden, bilden die 

 Paare (A', Y) eine in— 3, n — 3j Korrespondenz, auf welche man das Prinzip anwen- 

 den kann. X und 1' können nur in einem neuen Doppelpunkte zusammenfallen, 

 aber fallen in jedem von diesen zweimal zusammen; die Kurve hat also n — 3 

 neue Doppelpunkte. 



Denkt man sich die Kurve algebraisch, muss sie also unter den gegebenen 

 Bedingungen unikursal sein'. 



.§ 5. 



Die Kurve dritter Ordnung. 



Wir betrachten eine geschlossene völlig stetige Kurve dritter Ordnung, die 

 also von jeder Geraden entweder in einem oder in drei getrennten oder in vorher 



' Haben die zwei Kurven zweiter Ordnung p Punkten mit einander gemein, wo p von oder 4 

 versciiieden ist, dann wird die Zahl der gemeinsamen Tangenten aucli p sein (siehe: Indledning i Læ- 

 ren om grafiske Kurver, Kgl. danske Vidensk. Selsk. Skr., 6. R. X. 1899, S. 19). 



- Für algebraische Kurven habe ich den Satz als Aufgabe gestellt in „Archiv f. Math und Physik", 

 Aufg. Nr. 176. 



