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besprochener Weise zusammenfallenden Punkten geschnitten wird. Findet sich 

 eine Gerade, die mehr als drei Funkte mit der Kurve gemein hat, soll jeder Punkt 

 der Geraden der Kurve angehören, und die übrigen Punkte derselben müssen dann 

 eine Kurve zweiter Ordnung bilden. Bis weiter setzen wir voraus, dass die Kurve 

 keinen Doppelpunkt hat. 



.Die Zahl der Tangenten, die aus einem Punkte P der Kurven ausgehen und 

 ausserhalb P berühren, kann sich nicht ändern, wenn P seine Lage auf der Kurve 

 ändert, weil die Kurve weder sich selbst noch eine seiner Wendetangenten schnei- 

 det. Ist nun P ein beliebiger Punkt der Kurve, folgt schon aus dem Korrespon- 

 denzsatz — siehe zweites Beispiel S. 26, dass aus P entweder oder 2 Tangenten 

 gehen, die ausserhalb P berühren. Hier wird es aber sicher zwei Tangenten geben, 

 weil man P als den Tangentialpunkt irgend eines Kurvenpunktes wählen kann, d. h.: 



Aus jedem Punkte der Kurve dritter Ordnung ohne Doppel- (1) 

 punkte oder Spitzen gehen immer zwei Tangenten, die ausserhalb P 

 berühren. 



Die Kurve hat wenigstens einen Inflexionspunkt; es folgt dies schon daraus, 

 dass eine überall völlig stetige Kurve ohne Doppelpunkte, Spitzen und Inflexions- 

 punkte eine ebensolche Kurve zweiter Ordnung sein muss. Um die Zahl der In- 

 flexionspunkte zu bestimmen braucht man nur die (2 — 1) Korrespondenz zu be- 

 trachten, die einen Punkt R der Kurve mit seinem Tangentialpunkt P verbindet. 

 Es können hier die zwei Punkte R, welche einem Punkte P entsprechen, nicht zu- 

 sammenfallen; man braucht also nur an irgend einer Stelle den Lauf von R und 

 P zu untersuchen. Man weiss aber nach § 2, Seite 10 dass P und R in der Nähe 

 eines Inflexionspunktes in entgegengesetztem Sinne laufen. Man hat also; 



Eine Elementarkurve dritter Ordnung ohne Doppelpunkte oder (9) 

 Spitzen hat immer drei I n f 1 e x i o n s p u n k t e . 



Um die Formen der Kurve etwas näher charachterisieren zu können, stellen 

 wir den folgenden einfachen Satz auf (der elementare Carnot'sche Satz): 



Das zusammenhängende Produkt der Verhältnisse, in denen die (3) 

 Seiten eines Polygons durch die Schnittpunkte mit einer beliebigen 

 geschlossenen Elementaren rve geteilt werden, ist immer positiv. 



Es genügt ein Dreieck ABC zu betrachten. Wir wählen dieses so, dass keine 

 Winkelspitze auf der Kurve liegt, und so klein, dass sämtliche Schnittpunkte mit 

 der Kurve auf den Verlängerungen der Seiten liegen; es ist in dieser Lage der Satz 

 selbstverständlich. Drehen wir nun eine Dreiecksseite z. B. AB um A, wird ein 

 Verhältniss auf Aß nur dann sein Vorzeichen ändern können, wenn die veränder- 

 liche Dreiecksseite durch einen Schnittpunkt der Kurve mit der gegenüberliegenden 

 Seite BC hindurchgeht. Es wird dann aber auch ein Verhältniss auf eben dieser 

 Seite sein Vorzeichen ändern, so dass das Produkt der Verhältnisse wieder positiv 

 wird. Hiermit ist der Satz ofTenbar bewiesen; die speziellen Fälle, wo entweder 

 eine Seite die Kurve berührt oder wo eine Winkelspitze auf der Kurve liegt, erle- 

 digen sich ganz ebenso wie bei den algebraischen Kurven. 



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