138 



28 



Aus diesem Satze folgt, dass die Kurve dritter Ordnung immer so projiciert 

 werden kann, dass die drei Inilexionspunl<te alle auf den Verlängerungen der Seilen 

 der Wendepunktsdreieclcs liegen. Ein Bogen der Kurve, der durch zwei der In- 

 flexionspunkte begrenzt ist und nicht den dritten enthält, ist ein Elementarbogen 

 (siehe S 3, Satz 16, Seite 16). 

 Wir können also sagen : 

 (4) Eine völlig stetige Kurve dritter Ordnung ist aus drei Elemen- 



tar b ö g e n zusammengesetzt und liegt in drei von den vier Dreiecken, 

 in welche die Ebene durch die drei Wendetangenten geteilt wird. 



Hierbei ist freilich verausgesetzt, dass die drei Wendetangenten nicht durch 

 demselben Punkte gehen; diesen leicht zu behandelden Speziallall lasse ich hier 

 liegen. 



Nachdem durch den vorigen Satz das Aussehen der Kurve wesentlich karak- 

 terisirl ist, wende ich mich zur Bestimmung der Klasse der Kurve. Aus einem 

 Punkte P der Kurve gehen zwei Tangenten, die ausserhalb P berühren; aus einem 

 in der Nähe der Kurve liegenden Punkte gehen also entweder zwei oder auch vier 

 Tangenten. Die grösst mögliche Zahl von Tangenten ist aber 6, weil die Kurve 

 aus drei Elementarbögen zusammengesetzt ist; dass die Zahl 6 erreichbar ist, weiss 

 man schon aus der Teori der algebraischen Kurven. 



Weiter kann man gelangen, wenn man den Begriff 

 einer vollständigen Kurve d r i 1 1 e r O r d n u n g 

 einführt Eine ein- oder mehrteilige Kurve drit- 

 ter Ordnung heissen wir aber vollständig, vs'enn 

 man der Kurve nicht noch andere Zweige hinzu- 

 fügen kann ohne die Ordnung zu erhöhen. Eine 

 Kurve dritter Ordnung kann nun offenbar höch- 

 stens zweiteilig sein, und von seinen eventuellen 

 Zweigen muss der eine dritter, der andere zweiler 

 Ordnung sein; abei' man kann nicht jedem geschlos- 

 senen Zweige dritter Ordnung ein projektives Oval 

 hinzufügen ohne die Ordnung zu erhöhen. 



Um dies näher zu untersuchen denken wir uns 

 die einteilige Kurve so projiciert, dass sie nicht in das endlichen Wendepunktsdrei- 

 eck ABC hineinricht. Es möge einem (von Wendetangenten und Kurvenbögen be- 

 grenzten) Gebiete, aus dessen Punkten r Tangenten ausgehen, der Index /• zuge- 

 sclirieben werden. Eine Winkelspitze z. B. A wird dann, wie leicht zu sehen, von 

 vier Gebieten umgeben, dessen Indices in der Ordnung, in der sie auf einander 

 folgen, entweder 0, 2, 4, 2 oder auch 2, 4, 6, 4 sein müssen. Da man einer Wende- 

 tangente entlang von einer Winkelspilze ohne die Kurve zu überschreiben zu jeder 

 anderen Winkelspitze gelangen kann, wird die Indicesbezeiclinung bei allen Winkel- 

 spitzen dieselbe sein. Da aber die Kurve die Gebiete mil dem Index 2 von den- 

 jenigen mil dem Index 4 trennen muss, wird dass endliche Dieiecksgebiet enlwe- 



Fitf. 10. 



