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Fig. 11. 



(1er (len Index O oder den Index 6 haben. Ein Oval, da.s man dem Zweige drilter 

 Ordnung hinzufiigen kann, kann nur in einem Gebiete liegen, dessen Index ist, 

 denn eine durch einen inneren Punkt des Ovales gehende Tangente, würde sonst 

 5 Punkte mit der Kurve gemein haben. Aber 

 umgekehrt kann man auch immer in ein Ge- 

 biet, dessen Index ist. ein Oval hineinlegen 

 ohne die Ordnung der Gesammtkurven zu er- 

 höhen. Ist nämlich P ein Punkt durch den 

 keine Tangente geht, dann wird jede durch P 

 gehende Gerade die Kurve in gleichvielen Punkten 

 schneiden; diese Zahl muss aber 1 sein, was 

 man am besten sieht, wenn man P mit einer 

 Winkelspitze des Dreiecks verbindet. Man sieht 

 also, dass der Fall, wo die Klasse der Kurve 

 vier ist, eben derselbe ist, wo man dem Kurven- 

 zweig dritter Ordnung ein Oval hinzufügen kann, ohne die Ordnung der Gesanimt- 

 kurve zu erhöhen. Da ein projektives Oval zweiter Klasse ist, hat man also: 



Die Klasse einer vollständigen ein- oder zweiteiligen Kurve (5) 

 dritter Ordnung ist im m er (i . 



Ein geschlossener Kurvenzweig dritter Ordnung, dessen Wendetangenten durch 

 denselben Punkt gehen, ist vollständig. (Aus gehen nach unseren früheren Ver- 

 abredungen 6 Tangenten). 



Wir gehen jetzt zur Betrachtung der Kurven dritter Ordnung mit einem Dop- 

 pelpunkte O über. Von aus kann man die Kurve in zwei Pseudozweige zerlegen; 

 die eine von diesen ß'' muss dritter Ordnung, die andere a= zweiter Ordnung 

 sein; die letztere nennen wir die Schleife der Kurve. Jeder von den Zweigen 

 hat in einen Winkelpunkt; eine Kurve zweiter Ordnung kann aber nur einen 

 Winkelpunkt dritter Art haben; auf ß^ muss desshalb O ein Winkelpunkt erster 

 Art sein (siehe .^ 3 (12), Seite 19). Wenn wir nun diesen Punkt in der in S 2 be- 

 schriebenen Weise abrunden, treten in zwei Inflexionspunkte auf, und der ab- 

 gerundete Zweig /9^ kann ausser diesen nur einen Inllexionspunkt haben. Bei Auf- 

 hebung der Abrundung bleibt also ein Inllexionspunkt übrig. 



Weil auf «^ kein solcher liegen kann, hat man also : 



Eine Kurve dritter Ordnung mit einem Doppelpunkte hat einen (6) 

 und nur einen In flex i o nsp unkt. 



Eine Kurve dritter Ordnung mit einem Doppelpunkte ist vollständig im frü- 

 heren Sinne, weil jede Gerade, die durch einen Punkt im Inneren der Schleife geht, 

 die Kurve a- -\- ß" in drei Punkten schneiden muss. Ebenso sieht man, dass aus 

 einem Punkte M der Schleife keine Tangente gehen kann, die ausserhalb M be- 

 rührt. Aus einem Punkte Mj des Pseudozweiges /9^ gehen aber zwei Tangenten, 

 die ausserhalb M, berühren; man sieht dies genau ebenso wie den entsprechenden 

 Satz bei den Kurven ohne Doppelpunkt. Von den Berührungspunkten muss der 



