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eine auf der Schleife liegen, während der andere auf ß^ liegen muss; M^O ist 

 nämlich eine uneigentliche Tangente der Schleife. 



Aus einem Punkte in der Nähe von ß^ — aber nicht in der Nähe von O — 

 gehen 2 oder 4 Tangenten der Kurve. Die Zahl der durch einen beliebigen Punkt 

 P gehenden Tangenten kann nur durch Überschreiten der Kurve oder der Wende- 

 tangente geändert werden. Verbindet man nun P durch eine Gerade mit einem 

 Punkte des Inneren des Ovales und lässt man einen Punkt die ganze Gerade durch- 

 laufen, sieht man leicht: 



(7) Die Klasse einer Kurve dritter Ordnung mit einem Doppel- 

 punkte ist A . 



Die Kurve kann auch Winkelpunkte haben. Weil nach Abrundung dieser 

 Punkte die Kurve immer drei Inllexionspunkte haben wird, folgt aus den Erörte- 

 rungen in S 2, Seite 13 — 15: 



(8) Eine Kurve dritter Ordnung kann höchstens einen Winkel- 

 punkt erster Art und höchstens drei Winkelpunkte zweiter Art 

 haben. 



Dagegen ist eine beliebige Zahl von Winkelpunkten dritter Art möglich. Die 

 Kurve kann auch einen Winkelpunkl erster Art und zugleich einen zweiter Art 

 haben. 



In derselben Weise sieht man noch: 



(9) Eine Kurve dritter Ordnung mit einem Winkelpunkte hat 1, 2 

 oder 3 Inflexionspunkte, jenachdem der Winkelpunkt erster, zwei- 

 ter oder dritter Art ist. 



Aus den Sätzen über die verschiedenen Arten von Winkelpunkten folgt 

 endlich : 

 (10) Von den Tangenten in einem Winkelpunkte einer Kurve drit- 



ter Ordnung werden entweder beide, nur die eine oder auch keine 

 die Kurve ausserhalb schneiden, jenachdem der Punkt dritter, 

 zweiter oder auch erster Art ist. 



§ 6. 



Die Kurve vierter Ordnung ohne Doppelpunkte. 



Wir werden uns an dieser Stelle an der einteiligen Kurven vierter Ordnung 

 halten. Man kann freilich auch mehrere Sätze über mehrteilige Kurven aufstellen 

 aber wir begnügen uns hier mit der Bemerkung, dass die Zahl der getrennten 

 Zweige beliebig — auch unendlich — gross sein kann. Man braucht nur zwei 

 Kurven zweiler Ordnung « und ß zu nehmen, die eine beliebige Zahl von Punkten 

 mit einander gemein haben; mittels einer leicht versländlichen Abrundung einer 



