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durch einen Bogen von « und einen Bogen von ß gebildeten Kurve erhält man 

 offenbar (durch genügend oft wiederholte Abrundungen) eine Kurve vierter Ord- 

 nung, die aus beliebig vielen Zweigen zusammengesetzt ist. 



Den einzelnen Zweig, den wir betrachten, denken wir uns ferner als eine 

 Elementarkurve d. h. als aus einer endlichen Zahl von Elenientarbögen zusam- 

 mengesetzt. Die Zahl der Inflexionspunkte und Spitzen nuiss also auch endlich 

 sein. Dagegen ist es eine neue Voraussetzung, dass wir im folgenden auch die 

 Zahl der Doppelpunkte als endlich voraussetzen. Wir werden uns aber vorerst 

 nur mit denjenigen Kurven beschäftigen, die keine Doppelpunkte haben, wobei wir 

 zugleich die Kurven mit Spitzen ausgeschlossen haben wollen. 



Eine Kurve vierter Ordnung ohne Doppelpunkte hat immer (1) 

 wenigstens eine Doppeltangente. 



Wenn die Kurve nämlich keine Doppeltangente hätte, dann müsste sie als 

 eine paare Elementarkurve infolge Satz (17) in § 3 (Seite 18) eine Kurve zweiler 

 Ordnung sein. 



In der Nähe einer Doppeltangente liegen immer Gerade, welche keine Punkte 

 mit der Kurve gemein haben. Man sieht hierdurch: 



Man kann immer durch eine Cent ralprojection erreichen, dass (2) 

 eine Kurve vierter Ordnung ohne Doppelpunkte ganz im Endli- 

 chen 1 i egt. 



Wir denken uns im folgenden durchgehend, dass dies erreicht werden ist. 



Sind r, /?, S drei auf einander folgende Inflexionspunkte der (3) 

 Kuive, wird der eine aber auch nur der eine der Bögen TR und RS 

 Berührungspunkte mit Doppeltangenten enthalten. 



Es sei A ein Berührungspunkt einer Doppeltangente mit dem Elementarbogen 

 TR, und es liege auf den Bogen AR von TR kein weiterer solcher Punkt. Bewegt 

 sich M stetig auf den Bogen AR von A bis R, müssen dabei zwei Tangentialpunkte 

 jVj und N^ auftreten, welche sich in entgegengesetzten Sinnen bewegen, denn wenn 

 M in R gelangt, [existieren sicher zwei Tangentialpunkte. Geht M in demselben 

 Sinne laufend auf den Bogen RS über, dann laufen jetzt die zwei Tangentialpunkte 

 in demselben Sinne, und sie können desshalb nicht zusammenfallen, ehe M den Punkt 

 S erreicht hat. Geht M weiter über S auf den nächsten von zwei Inflexionspunkten 

 S und U begrenzten Elementarbogen über, werden die zwei Tangentialpunkte A^j 

 und No anfangs in entgegengesetzten Sinne laufen, und es sei ATj der Punkt, der 

 sich in S mit M vereinigt. Enthält nun der Bogen SU keinen Berührungspunkt 

 mit einer Doppeltangente, existieren A', und N, und behalten ihren Bewegungssinn, 

 bis M in [' gelangt. Hier müsste nun wieder M mit iV, zusammenfallen, aber das 

 ist unmöglich, weil N^ und N, immer existierend einander nicht treffen können. 

 Es muss also eine Doppeltangente den Bogen SU berühren. 



Weil man nach (1) immer von einem Bogen ausgehen kann, der von einer 

 Doppeltangente berührt wird, ist hiermit der Satz bewiesen. 



Die Berührungspunkt A und B einer Doppeltangente sind die gemeinsamen 



