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Endepunkte zweier liögen a^ und a^ der Kurve. Diese zwei Bögen mit dem end- 

 lichen Geradenslück Aß zusammen begrenzen zwei Gebiete ((Tj) und (»rj. Von die- 

 sen wird das eine, sagen wir {^a,^, in dem 

 anderen enthalten sein, denn die Gebiete, 

 sind endlich, liegen auf derselben Seite 

 von Aß ^ /, und die Bögen a^ und Or, 

 haben ausser A und ß keinen Punkl mit 

 einander gemein. Wir nennen a^ den 

 äusseren, <t, den inneren Bogen. 

 Jede Gerade, die einem Punkt von (a^) 

 enthält, muss jedenfalls einen Punkt mit 

 (T, gemein haben, denn höchstens ein 

 Schnittpunkt mit der Begrenzung von 

 (<T,) kann auf AB fallen. Es kann dess- 

 halh a., keine Doppeltangenten haben ; 

 F'g- 12. man hat aber auch noch: 



(4) Ein innerer und der zugehörige äussere Bogen können keine 

 Tangente mit einander gemein haben. 



Weil eine gemeinsame Tangente m jedenfalls keine Wendelangcnte sein kann, 

 muss der Teil von /??, der nahe am Berührungspunkte M mit a^ liegt, auf einer 

 bestimmten Seite von «Tj liegen, entweder innerhalb des Gebietes (ctj) oder ausser- 

 halb desselben. Im ersten Falle niüsste m mit der Begrenzung von (<Tj) zwei von 

 M verschiedene Punkte gemein haben, also jedenfalls einen solchen mit «r, , was 

 unmöglich ist. Dasselbe gilt aber auch im zweiten Falle, denn m enthält immer 

 einen Punkt des Inneren von (ffj), nämlich der Berührungspunkt mit «Tj . 



(5) Ein innerer Bogen enthält immer zwei und nur zwei Inflexions- 

 punk te. 



Es sei M ein A naheliegender Punkt von a„ und m die Tangente in M. Diese 

 muss, weil sie der Dobbeltangente AB ^ t naheliegend ist, entweder (ausserhalb A/) 

 keinen Punkt mit der Kurve gemein haben oder auch dieselbe in zwei ß nahe- 

 liegenden Punkten schneiden. Es muss aber das letztere hier der Fall sein, weil 

 77J den in (<Tj) liegenden Punkt M enthält. Wenn nun M den Bogen a^ von A bis 

 ß durchläuft, bleiben die zwei Tangentialpunkle N^ und N., von einander getrennt (in- 

 folge (4)), bis M in ß gelangt. Wenn nun N, derjenige Tangentialpunkt ist, der an- 

 fangs sich auf 17., beluidet, werden M und N, sich anfangs in entgegengesetzten 

 Sinne bewegen — M von A nach ß, A', von ß nach A. Dieses Verhältniss kann 

 sich nicht ändern, wenn man voraussetzt, dass auf a., kein Inflexionspiinkt 

 liegt. Wenn aber M von A aus in ß gelangt ist, muss Nj entweder gleichzeitig in 

 A gelangen oder aber es muss Nj schon früher den Punkt A überschritten haben 

 um auf (Tj überzugehen. In jedem Falle müssten M und N^ auf «r, zusammenge- 

 troffen sein, was doch unmöglich ist, wenn sich auf (t., kein Inflexionspunkl be- 

 findet. Dass sich nun auf ff., nur ein einzelner Intlexionspunkt ß befindet, ist un- 



