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möglich, denn sind 7', /?, S drei auf einander folgende Inflexionspunkle der ganzen 

 Kurve, mfisste jedenfalls nach (3) einer der Bögen TR und RS von Berührungs- 

 punkten mit Doppellangenten frei sein — während doch .4 auf dem einen und B 

 auf dem anderen dieser Bögen liegt. Wenn die Evurve nur zwei Inflexionspunkte, 

 speziell >S und R hätte, kann nur der eine der Bögen RS Berührungspunkte mit 

 einer Doppeltangente enthalten (es folgt dies sogleich aus dem Beweise von (3)). 



Drei Inflexionspunkte auf a.-, sind aber auch unmöglich, weil dann infolge (3) 

 aber in Streit mit (4) auf an ein Berührungspunkt mit einer Doppeltangente liegen 

 würde. 



Es finden sich also auf a^ '^^^'ß' und nur zwei Inflexionspunkte und wir wol- 

 len im folgenden sagen, dass diese ein I n f 1 exionspaa r bilden; jeder Doppel- 

 tangente einer Kurve ohne Doppelpunkte entspricht ein solches Paar. 



Man hat nun endlich den Hauptsatz: 



Alle Inflexionspunkte einer Kurve vierter Ordnung ohne Dop- (B) 

 pelpunkte ordnen sich in Inflexionspaare. 



Der Satz ist nach (5i selbstverständlich, wenn nur zwei Inflexionspunkte vor- 

 handen sind. Im allgemeinen F"all seien R, S, T^ drei auf einander folgende In- 

 flexionspunkte und es sei RS ein Bogen auf den kein Berührungspunkt mit einer 

 Doppeltangente liegt. Es laufe nun ein Punkt M von S nach T, (nicht über /?), 

 und es sei B der erste Berührungspunkt einer Doppeltangente /, den er trifft. Weil 

 die Tangente m in M die Kurve ausserhalb M schneiden muss, bis M in ß gelangt 

 ist, muss der durchlaufene Bogen SB auf einem zu t gehörigen inneren Bogen 

 liegen, und dieser muss dann R und S enthalten. Geht M über B weiter, muss 

 er, ehe er Ti erreicht, noch einen Berührungspunkt Aj einer Doppeltangente /, 

 überschreiten. Dem /, entsprechenden Inflexionspaar gehört T^ an, und so kann 

 man weiter gehen. 



Die Form der Kurve ist nun unzweifelhaft. Man kann sie leicht konstruktiv 

 aus zwei Ovalen a und ß erhalten; es mögen diese einander in den auf einander 

 folgenden Punkten .4, A.^ ,4 , . .. Aj„ schneiden, und es mögen die Bögen AjA, , A^A, , ... 

 von « innerhalb ß liegen. Geht man dann von A, nach A., längs ß, von A o nach 

 A. längs a, von A 3 nach A^ längs ß u.s.w., hat man eine Kurve durchgelaufen, 

 welche nach Abrundung der Winkelpunkle Aj A, A , ... A2,, eine Kurve vierter 

 Ordnung ohne Doppelpunkte sein wird. 



Die Restkurve ist zweiter Ordnung und macht die erste Kurve vollständig. 

 Ich übergehe aber, was man hier und im folgenden über vollständigen — aus 

 mehreren Zweigen zusammengesetzten — Kurven sagen kann. 



I). li. I). ViilunsU. Sflsk. Skr 7. lt;<-kUi;. nalurvUlciisU o\i ni;illH-in Al'.l. XI. 2. 19 



