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§ 7. 



Einteilung der Kurven vierter Ordnung mit Doppelpunkten 



in drei Gattungen. 



Es sei ein Doppelpunkt der Kurve. Nach S 4 Beispiel 2 S. 26 hat man gleich : 



(1) Aus jedem Doppelpunkte gehen zwei oder auch keine Tangen- 

 ten, welche ausserhalb berühren. 



Wenn aus keine Tangente geht, heisst ein Doppelpunkt erster Art; 

 sonst ist er zweiter Art. Man hat nun den Hauptsatz: 



(2) Wenn die Doppelpunkte einer völlig stetigen Kurve vierterOrd- 

 nung nicht alle derselben Art sind, muss die Kurve drei Doppel- 

 punkte haben. 



Wir können davon ausgehen, dass die Kurve keine Spitzen hat, sonst würden 

 alle Doppelpunkte der zweiten Art hinzuzurechnen sein. Es folgt dann der Satz aus 

 Beispiel 3 in S 4 S. 26 für n = 4. Es wäre hiernach naheliegend als Einteilungsprinzip 

 die Art der Doppelpunkte zu wählen, und Kurven mit drei Doppelpunkten als 

 eine besondere Art auszuheben. Man würde aber hierdurch Kurven mit sehr ver- 

 schiedenen Eigenschaften als einer Gattung angehörig nehmen. Es empfiehlt sich 

 noch auf die von jedem Doppelpunkte ausgehenden Pseudozweige Rücksicht 

 zu nehmen. Es ist hier jeder Pseudozweig entweder 2ter, 3ter oder 4ter Ordnung. 

 Besonderes Interesse hat es, ob die Ordnung paar oder unpaar ist, wobei man 

 nicht vergessen muss, dass die Verhältnisse bei den verschiedenen Doppelpunkten 

 verschieden sein können. Wir wollen nun als einer bestimmten Gattung angehörig 

 diejenigen Kurven betrachten, von denen wenigstens ein Pseudozweig — und also 

 auch der komplementäre — unpaar ist. Wir werden übrigens durch die folgenden 

 Sätze sehen, dass die zwei genannten Einteilungsgründe nicht von einander unab- 

 hängig sind. 



(3) Hat eine völlig stetige Kurve vierter Ordn un g einen Doppelpunkt 

 A erster Art, und sind alle Pseudozweige paar, dann werden alle 

 diese, mit eventueller Ausnahme der a' o n A ausgehenden, ohne Dop- 

 pelpunkte sein. 



Es sei B ein anderer Doppelpunkt gleichviel ob erster oder zweiter Art. Wir 

 zerlegen die Kurve in die zwei von B ausgehenden Pseudozweige ß, und ß^ , und 

 zeigen erstens, dass A kein Doppelpunkt auf ß^ oder p", , sagen wir auf ß^ , sein 

 kann. Nehmen wir nämlich an, A sei ein Doppelpunkt auf /îj ; der andere Zweig 

 ß^ geht dann nicht durch A. Weil durch A keine Tangente an ß^ geht, schneidet 

 jede durch A gehende Gerade ß^ in derselben Zahl von Punkten. Freilich wäre 

 es möglich, dass bei der Drehung der Gerade um A zwei Schnittpunkte mit ß^ in 

 B verloren oder gewonnen werden könnten, wenn nämlich die Gerade AB in B 

 eine uneigentliche Tangente von ß2 wäre. Das ist aber nicht möglich, weil eine 

 einmalige Änderung um ^2 bei der ganzen Drehung um A unstatthaft ist. Jede 



