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durch A gehende Gerade müsste also ß„ in zwei Punkten schneiden. Eine Tan- 

 gente in A an ßi schneidet aber /?] in drei (zusammenfallenden) Punkten, und 

 würde also /9, -{- ß., in mindestens 5 Punkten schneiden. Weil dies unstatthaft ist, 

 muss demnach A ein Schnittpunkt von /3, und ß^ sein. Es kann aber ferner /?, 

 keinen neuen Doppelpunkt C haben. Die Gerade AC würde nämlich, weil A ein 

 einfacher Schnittpunkt sowohl mit ß^ als mit /îj ist, diese beiden Zweige wenig- 

 stens in einem von A und C verschieden Punkte schneidenen müssen, und also 

 ßi + ßi in wenigstens 6 Punkten. 



Eine völlig stetige Kurve vierter Ordnung, deren Doppelpunkte (4) 

 nicht alle derselben Art sind, 1 ä s s t sich immer in zwei komple- 

 mentäre un paare Pseudozweige zerlegen. 



Es sei A ein Doppelpunkt erster Art, B ein ebensolcher zweiter Art. Nach (2) 

 hat die Kurve ausser A und B noch einen Doppelpunkt C. Von diesem letzteren 

 aus zerlegen wir die Kurve in zwei Pseudozweige j-j und ^-^ . Wären nun alle Pseudo- 

 zweige paar, dann würde nach (3) sowohl A als auch B ein Schnittpunkt von j-, mit 

 ;-2 sein. Aus B gehen aber zwei Tangenten, welche ;-j + j., ausserhalb B berühren ; 

 und es sei / eine solche die z. B. j-^ berühren mag. Diese Gerade / würde y^ in 

 vier, ^., in wenigstens zwei Punkten schneiden, was nicht angeht. 



Wenn wir also aus der Gesammlheit aller Kurven vierter Ordnung mit Dop- 

 pelpunkten diejenigen herausheben, welche Pseudozweige unpaarer Ordnung haben, 

 bleiben nur Kurven zurück, deren Doppelpunkte sämtlich derselben Art sind. 



Wir teilen deshalb die Kurven vierter Ordnung in die Gallungen II, III, IV 

 ein — wobei die Kurven ohne Doppelpunkte als einer Gattung I angehörig be- 

 trachtet werden mögen : 

 II. Kurven mit unpaaren Pseudozweigen. 



III. Kurven, deren Pseudozweige alle paar, und deren Doppelpunkte 

 alle erster Art sind. 



IV. Kurven, deren Pseudozweige alle paar, und deren Doppelpunkte 

 alle zweiter Art sind. 



§ 8. 



Kurven vierter Ordnung mit unpaaren Pseudozweigen. 



Wir wollen bis weiter voraussetzen, dass die Tangenten in einem Doppel- 

 punkte nicht zusammenfallen. 



Es sei nun ein Doppelpunkt von dem aus die Kurve sich in zwei Pseudo- 

 zweige ^j und yr, unpaarer und also dritter Ordnung zerlegen lässt. Weil jede 

 Gerade sowohl ;-j wie ^-^ schneiden müss, wird jede Gerade zwei oder vier Punkte mit 

 der Kurve gemein haben. Es ist also nicht möglich die Kurve ins Endliche zu projicieren. 



Es können die Zweige y^ und y^ keine Tangente mit einander gemein haben, 

 denn eine solche würde die Kurve in 6 Punkten schneiden. Man hat also: 



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