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(1) Eine Kurve vierter Ordnung zweiter Gattung hat keine Doppei- 



ta ngenten. 



Wir werden im folgenden sehen, dass alle andere Kurven vierler Ordnung 

 als diejenigen zweiter Gattung Doppeltangenten haben. 



Rundet man die in Ü auftretenden Winkelpunkle in der früher genannten 

 Weise ab, haben ;-j und j-^ jetzt nicht mehr gemein, und sie werden sich des- 

 halb in wenigstens einem von O verschiedenen Punkte schneiden. Mehr als einen 

 Schnittpunkt können die abgerundeten Pseudozweige aber nicht haben, denn die 

 Verbindungsgerade dieser Punkte würde ß Punkte mit y^ und ;,, gemein haben. 



Die eine der Pseudozweige kann einen Doppelpunkt haben, nicht aber beide, 

 denn die Verbindungsgerade zweier Doppelpunkte würde wieder 6 Punkte mit der 

 ganzen Kurve gemein haben, o : 

 (2 ) Eine Kurve vierter Ordnung zweiter Gattung hat entweder zwei 



oder auch drei Doppelpunkte. 



Wir betrachten zuerst den Fall, dass die Kurve zwei Doppelpunkte hat. Wenn 

 nun kein Inllexionspunkt der Kurve ist, wird er ent- 

 weder auf ^j sowie auch auf ^o ein Winkelpunkt zweiter 

 Art sein, oder auch wird er auf ;-j (oder y^) ^i" Win- 

 kelpunkt erster Arl, auf y^ (ofJer ^-j) dritter Art sein. 

 Aus dem Satze (9) S 5 folgt also, dass die Kurve 

 2 + 2 oder auch 1 -)- 3, also in beiden Fällen vier In- 

 flexionspunkte haben wird. Dies bleibt auch noch 

 richtig, wenn Inilexionspunkte in fallen. 1st nämlich 

 O auf einem und nur einem der durch O gehenden 

 Bögen ein Inflexionspunkt, dann wird eine und nur eine 

 in berührende Tangente keine Punkte ausserhalb 

 mit der Kurve gemein haben. muss deshalb nach 

 (10) § 5 S.30 auf^-j (oderauf ^2) ein Winkelpunkt erster Art, 

 auf j-2 (oder ;-,) aber zweiter Art sein. Ist aber ein 

 Inflexionspunkt auf den beiden durch gehenden Bo- 

 gen, dann wird keine der Tangenten in nochmals 

 schneiden, und wird auf beiden Pseudozweigen ein 

 Winkelpunkt erster Art sein. Man bat also nach (9) g 5 S. 30 in allen Fällen : 

 (•^) Eine Kurve vierter Ordnung zweiter Gattung mit zwei Doppel- 



|)unkten hat vier Wendetangenten. 



Eine Kurve dieser Art findet sich sicher auch unter den nicht analytischen 

 Kurven. Man braucht nur zwei Kurven zweiter Ordnung zu nehmen, von welchen 

 die eine « ins Unendliche geht, während die andere ß endlich ist. Schneidet dann 

 ß sowohl den einen wie den anderen der zwei Bögen, in welche a durch die 

 unendlich fernen Punkte zerlegt wird, dann haben a und ß vier Punkte, aber keine 

 Tangeulen mit einander gemein'. Durch passend gewählte Auslassung von Bögen 

 ' Her Beweis ist leicht zu führen. .Siehe: Om Ikke-analytiske Kurver, 8.58. (Kgl.d. V. .S. Skr. 1!I06). 



Fig. 13. 



