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Fig 14. 



und entsprechende Abrundung von Winkelpunkten erhält man eine Kurve der ge- 

 wünschten Arl. Es möge dies mit einem Hinweis auf Fig. 13 abgemacht sein. 



Wir gehen jetzt zu den Kurven mit drei Doppelpunkten über. Es habe von 

 den zwei von O ausgehenden Pseudozweigen 

 ;-, und y„ der eine, sagen wir ^, einen Dop- 

 pelpunkt O, . Zu O2 gehören auf j-j zwei 

 Pseudozweige ;-,' und j-^", von welchen der 

 eine ;-/' zweiter Ordnung ist. Man hat nun 

 die zwei Möglichkeiten, dass entweder auf 

 dem unpaaren Zweig y,' oder auf y^" liegt. 

 Im ersten Falle ist auf ;-j entweder ein 

 Winkelpunkt zweiter oder dritter Art, denn 

 O kann nicht erster Art sein, weil sonst y^' 

 zwei Winkelpunkte erster Art erhalten würde, 

 was unmöglich ist. (Siehe (8) S 5 S. 30). Wenn 

 nun kein Inflexionspunkt in liegt, dann wird 



auf ;-., , bzw. entweder ein Winkelpunkt zweiter oder auch erster Art sein. Es 

 giebt demnach auf 7-2~'rTi' also auch auf 7-2 ^^ Ti > entweder 2 -|- oder auch 



1 (- 1 Inflexionspunkte. Dieselbe Zahl von Inflexionspunkten erhält man aber auch, 

 wenn auf ;-," liegt; in diesem Falle muss nämlich auf ;-/' ein Winkelpunkt 

 dritter Art und zugleich auf y.^ erster Art sein. Dasselbe gilt wie leicht zu sehen 

 auch noch, wenn Inflexionspunkte in fallen. Man hat also: 



Eine Kurve vierter Ordnung zweiter Gattung mit drei Doppel- 

 punkten hat immer zwei Wendetangenten. 



Es gibt dem obigen zufolge zwei verschiedene Arten von Kurven zweiter 

 Gattung mit drei Doppelpunkten jenachdem -- mit den obigen Benennungen — 

 O auf dem unpaaren Zweig j-/ oder auf dem Ovale eines zu 0, gehörigen Pseudo- 

 zweiges liegt. 



Im ersten Falle sieht man leicht, dass die Kurve 

 auch aus dem dritten Doppelpunkte O^ in zwei unpaare 

 Pseudozweige geteilt wird. Rundet man nämlich die 

 Winkelpunkte in 0^ ab, erhält man zwei Kurven, die nur 

 den Punkt mit einander gemein haben, und also nicht 

 paar sein können. 



Die Form dieser Kurve ist nun unzweifelhaft, weil 

 man alle mögliche Formen von Kurven dritter Ordnung 

 im Voraus kennt. Die einfachste Konstruktion erhält man 

 mittels den schon betrachteten zwei Kurven « und ß zwei- 

 ter Ordnung. Es möge genügen auf die Figur 14 hinzuweisen. 



Um die Gestalt der Kurve in dem Falle festzulegen, 

 wo auf einer Schleife ^j" von y^ Hegt, können wir für diese Kurve den folgenden 

 Satz aufstellen : 



Fig. 15. 



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