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(5) Wird die Kurve von Onus in P s e u d o z w e i g e dritter Ordnung zer- 



legt, von welchen der eine in 0^ einen Doppelpunkt hat, dann wird 

 sie auch von 0., aus in Pseudozweige dritter Ordnung zerlegt, und 

 von diesen hat der eine in einen Doppelpunkt. Von dem dritten 

 Doppelpunkte aus wird die Kurve in paare Pseudozweige zerlegt. 



Weil die Kurve von aus in y^ und ri'~rri" zerlegt wird, wo y^" wie oben 

 die Schleife auf y^ ist, und 0, auf y^" liegt, muss die Kurve von O2 aus in zwei 

 Pseudozweige geteilt werden, von welchen der eine ;-,', der andere y^"~'r7i 'st; 

 diese Zweige sind beide unpaar, und der letztere hat einen Doppelpunkt in 0. Von 

 Ol aus möge die Kurve in â^ und 02 zerlegt werden; wir wollen zeigen, dass diese 

 Pseudozweige paar sind. Er sind die Zweige ;-/ und y., beide unpaar und müssen des- 

 halb einen Punkt gemein haben, der Oj sein muss; 0^ liegt also auf y^' und auf 

 j-j . Geht man deshalb von 0, auf einem Bogen von y.^ nach O, überschreitet 

 man dadurch nicht 0, ; geht man der Kurve entlang weiter, kommt man über 

 einen Bogen von y,^" nach 0^ , von da kommt man über einen Bogen von y^' nach 

 Ol zurück ohne dabei denselben Punkt zweimal überschritten zu haben. Es hat 

 also (?! keinen Doppelpunkt, und schneidet d., in den zwei Punkten und 0, ; d^ 

 und ^2 sind deshalb beide paar. 



Eine Kurve der letztgenannten Art, kann man wieder durch zwei Kurven a 

 und ß ähnlich wie früher konstruiren. (Siehe Figur 15). 



Wir haben bisher die Kurven mit solchen Doppelpunkten ausgeschlossen, 

 dessen Tangenten zusammenfallen. Hat man eine Kurve mit einer Spitze /J , kann 

 man aber die A naheliegenden Bögen so ein wenig ändern, dass man dadurch eine 

 kleine Schleife erhält. Hierdurch wird weder Ordnung noch Galtung der Kurve 

 geändert. Weil nämlich aus .4 keine Tangente an die Kurve geht, erhält man 

 durch die Anderung keine neue Doppeltangenten. Die einzige Kurve zweiter Gat- 

 tung mit einer Schleife ist nun von der in Figur 14 dargestellten Typus. Zieht man 

 also diese Schleife in eine Spitze zusammen, erhält man die einzig mögliche Kurve 

 zweiter Gattung mit einer Spitze. Die Kurve hat zwei Wendetangenten. 



Zwei Doppelpunktstangenten können auch zusammenfallen, wenn zwei Bögen 

 der Kurve einander in einem Punkte B berühren. Durch eine kleine Änderung 

 dieser Bögen kann man offenbar eine Kurve derselben Gattung erhalten, wo zwei 

 Doppelpunkte in der Nähe von H auftreten. Die Kurve hat zwei oder vier Wende- 

 langenten, jenachdem sich auf der Kurve ausser B noch ein Doppelpunkt findet 

 oder nicht. Man kann leicht die in Figur 13, 14, 15 dargestellten Kurven so ab- 

 ändern, dass zwei Doppelpunkte in einen Selbstberührungspunkl zusammenfallen. 



Es können auch alle drei Doppelpunkte in einen dreifachen Punkt zusam- 

 menfallen. 



