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§ 9. 



Kurven vierter Ordnung, deren Pseudozweige alle paar und deren 

 Doppelpunkte alle erster Art sind. 



Aus einem Doppelpunkte gehl in diesem Falle keine Gerade, welche die 

 Kurve in zwei zusammenfallenden ausserhalb liegenden Punkten schneidet. Es 

 soll dabei ein Nachbarpunkt von als von verschieden betrachtet werden, so 

 dass es ausgeschlossen ist, dass eine Doppelpunktstangente zugleich eine Wende- 

 tangente ist. Es kann ferner der Definition zufolge die Kurve höchstens eine Spitze 

 und in diesem Falle keinen eigentlichen Doppelpunkt haben. Wir betrachten 

 zuerst den allgemeinen Fall, dass die Kurve keine Spitze hat. 



Zerlegt man die Kurve in zwei von einem Doppelpunkte ausgehende Pseudo- 

 zweige ;-j und y., ' können allgemein gesagt l)oppel[)unkte von ;-, -j- ;-., entweder als 

 solche auf y^ oder auf y^ oder auch als Schnittpunkte von ;-, und y., auftreten. 

 Hier hat man aber sogleich nach (3) .s? 7 S. 34: 



Bei den Kurven dritter Gattung kann kein Pseudozweig Doppel- (1) 

 punkte haben. 



Man hat ferner: 



Die Zahl der Doppelpunkte einer Kurve dritter Gattung ist (2) 

 un paar. 



Trennt man nämlich die zu einem Doppelpunkte gehörigen Pseudozweige 

 von einander durch einen Schnitt in 0, und rundet man die zwei in auftreten- 

 den Winkelpunkte ab, erhält man zwei einfache Kurven paarer Ordnung, die nicht 

 in zusammenhängen, und entweder keine oder auch eine paare Zahl von Punkten 

 mit einander gemein haben. 



Die zwei Tangenten in einem Doppelpunkte schneiden einen (3) 

 und denselben zu gehörigen Pseudozweig. 



Denken wir uns einen Punkt M , der immer in demselben Sinne die Kurve 

 von aus durchläuft. Die Halbgerade OM wird sich dann auch immer in dem- 

 selben Sinne um drehen, weil die Kurve keine Spitzen hat und keine Tangenten 

 aus gehen. Ferner wird die Halbgerade sich eben um 360° gedreht haben, wenn 

 M in zurückkehrt, weil sonst eine Gerade mehr denn vier Punkte mit der Kurve 

 gemein haben könnte. Es seien nun /j und t.^ die zwei Tangenten in 0, und es 

 schneide /; den einen Pseudozweig j-, in A^i , und man lasse einen Punkt M den 

 anderen Zweig y^ von bis zurück durchlaufen. Die Halbgerade OM wird 

 dabei entweder t^ und t^ nicht übei-schrillen haben oder jede dieser Geraden ein- 

 mal, jenachdem der Drehwinkel kleiner oder grösser als 180° ist. Nur durch 

 Überschreiten von kann ein Punkt von y^ auf y^ übergehen. Deshalb muss 

 derjenige Schnittpunkt A' der sich drehenden Geraden OM mit der Kurve, welcher 

 sich ursprünglich in A^j befand, nach Beendigung der Drehung sich wieder auf y^ 

 befinden; A' kann nicht gleichzeitig mit M nach konvergieren, weil die Tangente 

 in O keine Wendetangente ist. 



