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Fig. IH. 



Derjenige Pseudozweig, der von den beiden Tangenten in geschnitten wird, 

 werden wir den zu gehörigen äusseren Pseudozweig ;-„ nennen; der andere 



Zweig ist der innere Zweig ^,. 

 (4) "y -;><^ \ EinDoppelpunktOistein 



Winkelpunkt dritter Art auf 

 dem zum gehörigen inneren 

 Zweig; auf de m äusseren Zweig 

 wird also ein Win kel punkt 

 erster Art sein. 



Es sei M ein naheliegender 

 Punkt auf ;, , so dass OM der Tan- 

 gente /j naheliegend ist. Die Tan- 

 gente in M wird dann ;-„ in einem 

 dem obengenannten Punkte N ^ nahe- 

 liegenden Punkte schneiden und muss 

 also, weil j-,, paarer Ordnung ist, 

 nochmals y„ in einem Punkte schnei- 

 den. Die Tangente in M schneidet also überhaupt nicht y,. Weil dasselbe auch 

 noch richtig bleibt, wenn t^ mit /^ vertauscht wird, ist den Definitionen zufolge 

 auf y, ein Winkelpunkt dritter Art. 



Auf der Kurve treten ausser den Doppelpunkten selbverständlich im allge- 

 meinen Inflexionspunkte auf. 



Die letzteren können in In flex ionspaaren auftreten; zwei Inflexionspunkte 

 — sagen wir — bilden ein Paar, wenn sie auf einem Bogen liegen, der von den 

 Berührungspunkten mit einer Doppeltangente begrenzt wird, und dieser Bogen 

 weder einen anderen singulären Punkt noch einen Berührungspunkt einer anderen 

 Doppeltangente enthält. Die zugehörige Doppeltangente nennen wir eine Doppel- 

 langente erster Art; ein Inflexionspunkt, der nicht Element eines Paares ist, nen- 

 nen wir isoliert; eine Doppeltangente, die nicht erster Art ist, nennen wir zwei- 

 ter Art. Bei den Kurven vierter Ordnung ohne Doppelpunkte haben wir gesehen, 

 dass zwei Inflexionspunkte W^ und W^ immer ein Paar bilden, wenn sie End- 

 punkte eines Bogens sind, welcher keinen Berührungspunkt einer Doppeltangente 

 enthält. 

 (5) Jedem Doppelpunkte entspricht eine Duppeltangente zweiter 



Art der Kurve; sonst hat dieselbe nur Doppeltangenten erster Art 

 und sämmtliche Inflexionspunkte ordnen sich in Paaren an. 



Abrunden wir nämlich den Winkelpunkt sowohl auf y„ wir auf ^,, treten 

 infolge (4) auf yi keine neue singulären Punkte auf, während auf y„ zwei neue 

 Wendepunkte Wj und VV, hervortreten, welche beliebig naheliegend angenommen 

 werden können. Weil y„ und yi ohne Doppelpunkte sind, treten nach der Abrun- 

 dung auf beiden nur Doppeltangenten erster Art und nur Inflexionspunkte in 

 Paaren auf. Auf ;-„ müssen aber Wj und W% ein Paar bilden; weil nämlich aus 



