41 151 



O keine Tangenten an 7-,, gehen, kann auch in beliebiger Nähe an keine Tan- 

 gente an y„ gehen, so dass auf den kleinen Bogen 11', W, kein Berührungspunkt 

 einer Doppcltangente liegen kann. Den Punkten W^ und W^ entspricht also eine 

 ganz bestimmte Doppeltangenle f. Sind A und B deren Berührungspunkte, liegen 

 auf dem Bogen AW^W^B ausser W, und W., kein Inflexionspunkt, und ausser 

 .4 und B keine Berührungspunkte einer Doppeltangente von ;„. 



Hebt man nun die Abrundung auf, bleiben auf ;-, immer nur Inflexionen in 

 Paaren mit den zugehörigen Doppeltangenten erster Art, während auf ■/-„ noch eine 

 Dobbeltangente z^^•eiter Art t' übrig bleibt. Die eben genannten p]igenschaften des 

 Bogens A\\\W.,B gehen auf den Bogen AOB über. Es kann ferner auf diesem 

 Bogen auch kein Doppelpunkt liegen; es genügt den Bogen OA zu betrachten. Ist 

 nämlich /, die Tangente des Bogens in 0, wird eine /, naheliegende Tangente von 

 ;-(, diesen Zweig zweimal schneiden — einmal in einem dem oben genannten 

 Punkte ATj naheliegenden Punkte und einmal in einem naheliegenden Punkte, weil 

 auf;-^ ein Winkelpunkt erster Art ist. Wenn also ein Punkt M den Bogen OA von bis 

 A durchläuft, wird die Tangente m in M immer ;-„ zweimal schneiden, weil auf OA kein 

 Berührungspunkt mit einer Doppeltangente von ya Hegt. Weil also m den Zweig ;-„ in 

 zwei Punkten (ausserhalb M) schneidet, kann sie keinen Punkt mit ^, gemein haben, 

 so dass auf den Bogen OA kein Schnittpunkt von ;-„ mit ;-, liegen kann. Die zwei Tan- 

 gentialpunkte P, und P.^ von M behalten ihren Bewegungssinn, wenn Mes thut, weil auf 

 OA kein Inflexionspunkt liegt. Wenn aber M in der Nähe von A ist, laufen P^ und 

 P.^ in entgegengesetzten Sinnen, und sie werden es desshalb überall so thun, auch 

 wenn M in der Nähe von ist. Lassen w'ir nun M den Punkt überschreiten 

 um auf ;-, einzutreten, wird von den zwei Tangentialpunkten P^ und P, der eine 

 und nur der eine seinen Bewegungssinn ändern, so dass P, und P, anfangs in 

 demselben Sinne auf y„ laufen. Es kann in diesen Verhältnissen nur dann eine 

 Änderung eintreten, wenn M einen neuen Doppelpunkt 0, überschreitet. Auf dem 

 Bogen 00^ kann also kein Berührungspunkt mit einer Doppeltangente liegen — 

 weil die Tangentialpunkte in demselben Sinne laufen — und kein Inflexionspunkt, 

 weil jede Tangente den Zweig y„ zweimal schneidet. 



Wir haben hier vorausgesetzt, dass 00^ = u ein Bogen des zu gehörigen 

 inneren Bogens ist. Aber a wird auch dem inneren Zweig von 0, angehören, denn 

 es wird ja dem eben gesagten zufolge ein dem Doppelpunkte naheliegender Bogen 

 eines (diesem Doppelpunkte angehörigenj inneren Zweiges eben dadurch charakteri- 

 sirt, dass die entsprechenden Tangentialpunkte auf der Kurve in demselben Sinne 

 laufen. 



Betrachten wir nun endlich die ganze Kurve und bezeichnen wir die Dop- 

 pelpunkte in der Ordnung, in der sie auf dem inneren Zweig ;-, aufeinander folgen, 

 mit 0, Oj , 0., . . . Oo„. Wir schneiden nun von der Kurve alle die inneren Bögen 

 OOi , 0^0^, ■■ ■ OznO ab. Man erhält so eine Kurve vierter Ordnung ohne Doppel- 

 punkte, die 2/i -f- 1 Winkelpunkte erster Art aber sonst ganz dieselben Doppeltan- 

 genten und Inflexionspunkte wie die ursprüngliche Kurve haben muss. Rundet 



I). K. I). Vldonsk. Selsk. Skr. 7. Kække, nntuiviik-nsk. cij» mulliiMll. Akl. XI 2 20 



