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man sämtliche Winkelpunkte ab, erhält man eine Kurve vierter Ordnung mit lauter 

 Doppeltangenten erster Art und lauter Inflexionspunklen in Paaren. Nach Auf- 

 hebung der Abrundung bleiben sämtliche Inflexionspunkte ausser denjenigen, welche 

 0^0^.... beliebig nahe liegen, und es werden nur diejenigen Doppeltangenten, 

 welche den verschwundenen Inflexionspaaren entsprechen, in Doppeltangenten 

 zweiter Art übergehen. 



Es ist besonders der Fall zu betrachten, dass die Kurve nur einen Doppel- 

 punkt hat. Hier muss dem Beweise des Salzes (5) zufolge jede Tangente des inneren 

 Zweiges j-, den äusseren Zweig in zwei gelrennten Punkten schneiden ; ;-, hat also 

 weder Inflexionen noch Doppeltangenten und muss desshalb eine Kurve zweiter 

 Ordnung sein, welche in einen Winkelpunkt dritter Ordnung hat. In Verbin- 

 dung mit dem obigen ist hierdurch die ganze Kurve charakterisirt. 



Es ist möglich, dass das Oval zusammenschrumpft, so dass eine Spitze her- 

 vortritt. Diese muss eine Spitze erster Art sein. Die Kurve hat ausser dieser 

 Spitze und einer Doppeltangente zweiler Art nur hiflexionen in Paaren mit den 

 zugehörigen Doppeltangenten. 



Was nun der nicht-algebraischen Existenz der hier betrachteten Gattung von 

 Kurven anbelangt, ist dieselbe leicht fest zu stellen. Hierbei lassen wir die Kurve 

 mit einem Doppelpunkt beiseite; wir werden dieselbe später in anderer Weise kon- 

 struiren. 



Weil die Kurve jedenfalls eine Doppeltangenle hat, können wir im projektiven 

 Sinne davon ausgehen, dass die Kurve ganz im Endlichen liegt. Man nehme nun 

 zwei Ovale a, ß, die einander in den — auf a oder ß — auf einander folgenden 

 Punkten O^ , O^ ■ . ■ 0.>„ schneiden mögen. Die zwei Ovale zusammengenommen 

 bestimmen ein zusammenhängendes Gebiet, dessen Begrenzung abwechselnd aus 

 einem Bogen von a und einem Bogen von ß besteht. Es sei die Begrenzung: 



In einer un paaren Zahl von Punkten nehmen wir die Abrundung vor, 

 indem wir in früher genannter Weise «,. und ß,.+ ^ — oder /?., und Os+i — durch 

 einen kleinen Bogen verbinden. Wenn wir aber z. B. Ur und ß^+i abrunden, run- 

 den wir auch den durch ß^ und «r+i bestimmten Winkelpunkt ab. Die übrigen 

 Schnittpunkte lassen wir unberührt. Es entsteht so eine Kurve, deren Pseudo- 

 zweige alle paar und deren Doppelpunkte alle erster Art sind. Man muss nur 

 noch sehen, dass die Kurve nicht zerfällt. Wir haben aber unpaarmal abgerundet. 

 Fängt man also den Durchlauf der Kurve von einem Doppelpunkte aus auf 

 einem Bogen von a an, dann kommt man auf einen Begen von ß zurück, aber, 

 wenn man O das zweite Mal erreicht, auf einem Bogen von a. 



Man kann übrigens die konstruirte Kurve als die allgemeinste dieser Gattung 

 betrachten. 



