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§ 10. 

 Allgemeine Eigenschaften und Einteilung der Kurven vierter Gattung. 



Bei den Kurven dritler Gattung waren alle Doppelpunkte Schnittpunkte kom- 

 plementärer Pseudozweige. Hier hat man ganz im Gegenteil: 



Zwei kom ple m en tä re Pseudozweige ha ben keine n and e ren Punkt (1) 

 als den Doppelpunkt, von dem sie ausgehen, mit einander gemein. 



Es seien ;-j und ;-., die zwei von einem Doppelpunkte O ausgehenden Pseudo- 

 zweige, und nehmen wir an, dass diese einen von ü verschiedenen Punkt O, mit 

 einander gemein haben. Es sei / eine durch Oj gehende Tangente an z. B. ^,, 

 welche ausserhalb O^ berührt. Diese Gerade kann nicht zugleich Tangente in O^ 

 sein, und dieser Punkt ist deshalb ein einfacher Schnittpunkt von / sowohl mit 

 ;-j als mit ; o ; die Gerade schneidet deshalb jeden der Zweige in mindestens noch 

 einem Punkte, und ;-j + T2 i'^ mindestens 6 Punkten (von welchen zweimal zwei 

 zusammenfallen), was unmöglich ist. 



Sind O und Oj zwei Doppelpunkte, und t eine von ausgehende (2) 

 Tangente, welche ausserhalb berührt, dann ist jede der Geraden 

 OiO und t in eine uneigentliche Tangente der zu O gehörigen 

 Pseudozweige y^ und ^-j . 



Wenn dies nämlich nicht der Fall wäre, würde ein einfacher Schnittpunkt 

 sowohl mit ;-j als mit ;-, sein, und eine der betrachteten Geraden würde jeden 

 Zweig in noch einen Punkt schneiden, so dass sie wenigstens 6 Punkte (unter 

 welchen zweimal zwei zusammenfallende) mit der Kurve gemein haben würde. 



Jenach de m die Tangenten in einem Doppelpunkte einen be- (3) 

 stimmten der von O a u s g e h e n tl e n Pseudozweige ausserhalb in 0, 

 1 o d e r 2 Punkten s c h n e i d e n , w e r d e n durch r e s p . 0, 1 oder 2 Tan- 

 genten an denselben Zweig gehen, welche ausserhalb berühren. 



Nehmen wir erstens an, dass die beiden Tangenten /, und /, den Zweig 7-, 

 bzw. in N] und N^ schneiden. Es seien a^ und a, die bzw. t^ und t., berühren- 

 den Bögen von ;-j . Durchläuft nun ein Punkt M den Zweig ;-j von bis O zu- 

 rück, so dass er zuerst den Bogen «j durchläuft, dann wird die Gerade OM an- 

 fangs den Zweig }-., in einem Punkte schneiden, der N^ benachbart ist. Ein Schnitt- 

 punkt kann aber nur durch den Punkt von j-, auf ;-, übergehen, und das 

 ist hier nicht möglich, weil weder /j noch ^o einen Punkt mit ;-j gemein haben. 

 Jede durch gehende Gerade, welche ;-[ schneidet, wird also auch ; ., schneiden, 

 und desshalb kann durch keine Tangente an -/-^ gehen. 



Nehmen wir zweitens an, dass /; aber nicht t^ einen Punkt N^ mit ;-j gemein 

 hat. Wir lassen dann wieder M den ganzen Zweig ;'j in einem bestimmten Sinne 

 durchlaufen, so dass er zuerst den Bogen a.^ durchläuft. Bis M den Punkt N, er- 

 reicht, wird wie im ersten Fall die Gerade OM einen Punkt mit y., gemein haben. 

 Wenn M aber jV; überschreitet, dann geht ein Schnittpunkt M' der Geraden GM mit 

 der Kurve von j% auf y^, und zwar durch auf den Bogen «j über. M' bewegt 



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