154 44 



sich also im entgegengesetzten Sinne von M, und M und M' müssen in dem Be- 

 rührungspunlvte einer aus O an y^ gehende Tangente zusammenfallen. Aber ganz 

 dieselben Schlüsse zeigen, dass auch wenigstens eine y^ berührende Tangente durch 

 gehen muss. Es geht demnach in diesem Falle eine und nur eine Tangente 

 aus U an y^ , weil aus nur zwei Tangenten an y^ -j- y., gehen. 



In dem Falle, wo /j und /, beide y^ schneiden, werden keine von diesen ;-., 

 schneiden, und wir kommen so auf den ersten Falle zurück. 



In dem Beweise haben wir vorausgesetzt, dass die Tangenten in O nicht 

 Wendetangenten sind. Der Satz gilt aber oiTenbar auch in diesem Fall, wenn man 

 nur eine solche Wendetangente sowohl den durch ü gehenden und ausserhalb 

 schneideden Geraden als auch den durch O gehenden und ausserhalb O berühren- 

 den Geraden hinzurechnet. 



(4) Zwei komplementäre P send o zweige haben immer zwei und nur 

 zwei Tangenten mit einander gemein. 



Es seien u und ß die zwei komplementären Zweige, welche von einem Dop- 

 pelpunkte ausgehen, und es seien «* und ß' die zwei völlig stetigen Kurven, 

 welche entstehen, wenn die zwei in auftretenden Winkelpunkte abgerundet 

 werden. Es sei ferner /' eine aus O an a -j- ß gehende Tangente, die /.. B. a be- 

 rühren möge. Es ist /' keine Tangente an ß, weil aber die Abrundung beliebig 

 klein gemacht werden kann, wird eine /' beliebig nahe liegende Gerade infolge (2) 

 sowohl a" wie ß* berühren, und der Berührungspunkt mit ß wird beliebig nahe 

 liegen. (Siehe § 2, Seite 14). 



Die Kurven «' und ß' haben keinen Punkt mit einander gemein, und eine 

 Wendetangente der einen Kurve kann die andere nicht schneiden. Infolge Beispiel 

 II in § 4, Seite 25, haben «* und /?* also entweder keine Tangente oder auch vier 

 Tangenten mit einander gemein. Hier muss aber der letztere Fall eintreten, denn 

 wir haben dem obigen zufolge schon zwei gemeinsame Tangenten nachgewiesen, 

 welche den zwei aus O an « + /9 gehenden Tangenten /' und t" beliebig nahe 

 liegen. Wenn wir nun die Abrundung wieder aufheben, dann bleiben ausser den 

 in t und t" fallenden Geraden noch zwei übrig, welche « und ß berühren. 



Chai-akteristisch für die Kurven vierter Gattung ist, wie wir sehen werden, 

 das j Auftreten von Schleifen; Schleife nennen wir einen paaren Pseudozweig, 

 der keinen anderen Doppelpunkt enthält, als denjenigen, von dem sie ausgeht. 



(5) Ausjedem Doppelpunktegehteine und nur eine Tangente an jede 

 Schleife, die nicht von demselben Doppelpunkte ausgeht. 



Es sei (Oj) eine von O, ausgehende Schleife, und es sei O ein anderer Doppel- 

 punkt. Verbindet man mit einem Punkte M von (Oj), wird diese Gerade von 

 der Schleife in noch einem Punkte P geschnitten. In der Nähe von Oj laufen M 

 und P in entgegengesetztem Sinne, weil 0]^0 eine uneigentliche Tangent in 0] ist. 

 Es giebt deshalb ausserhalb noch ein Punkt, wo M und P zusammenfallen, 

 womit der Satz bewiesen ist. 



(6) Eine Kurve vierter Gattung hat mindestens zwei und höchstens 

 drei Schleifen. 



