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Wenn die Kurve nur einen l)op|)elpunkl hal, sind beide von diesem ausgehende ' 

 Pseudozweige Schleil'en. Hat die Kurve mehrere Doppelpunlite teilen wir sie wieder 

 aus einem Doppelpuniit O in zwei Pseudozweige y^ und ;-„ . Wenn ;-j keine 

 Schleife ist, sei 0, ein Doppelpunkt auf j-j . Von den beiden von 0^ ausgehenden 

 Pseudozweigen wird der eine und nur der eine O enthalten (1); der andere sei y.,', 

 und dieser wird mindestens einen Doppelpunkt weniger haben als ;-, denn nach (1) 

 sind ;-j und yo von einander völlig getrennt. Man kann so fortsetzen, bis man 

 an einen Pseudozweig ohne Doppelpunkt d. h. eine Schleife gelangt. Ebenso sieht 

 man, dass in ;-., wenigstens eine Schleife enthalten ist. 



Mehr als drei Schleifen von den Doppelpunkten Oj , Oo , O3 ausgehend 

 kann die Kurve aber nicht haben, denn sonst würde dem Satze (5) zufolge aus O, 

 mehr denn zwei Tangenten an die Kurve ausgehen, was ausgeschlossen ist. 



Zwei Schleifen, die von verschiedenen Doppelpunkten ausgehen, (7) 

 haben immer eine und nur eine Tangente mit einander gemein. 



Es mögen die Schleifen (0) und (Oj) von den Doppelpunkten und Oj aus- 

 gehen. Durch geht eine und nur eine Tangente an (Oj ). Wenn nun M von 

 aus die ganze Schleife (0) durchläuft, wird aus M immer eine und nur eine 

 Tangente an (Oj ) gehen, denn keine Doppellangente oder Wendetangente von (O,) 

 oder auch noch keine Tangente in 0^ kann (0) schneiden. Es besieht also eine 

 (1—1) Korrespondenz zwischen M und dem Punkt P, wo die durch M an (0,) 

 gehende Tangente die Schleife (0) nochmals schneidet. Weil die aus an (0,) 

 gehende Tangente in eine uneigentliche Tangente ist (2), laufen M und P in der 

 Nähe von in entgegengesetzten Sinnen; es giebl aber also ausseihalb noch 

 einen Punkt, wo M und P zusammenfallen. 



Wir wollen noch beweisen; 



Auf einer Schleife, welche von einem Doppelpunkte ausgeht, (8) 

 befinden sich 0, l oder 2 isolierte Inflexionsp unk te je nachdem durch 

 0,1 oder 2 Tangenten gehen, welche (0) ausserhalb berühren. 



Wir haben schon oft benutzt, dass eine von ausgehende Tangente f an (0) 

 eine uneigentliche Tangente in ist. Runden wir nun den Winkelpunkt auf 

 (Ol in gewöhnlicher Weise ab, erhält die abgerundete Kurve eine /' naheliegende 

 Doppellangenle. Auf dem zugehörigen inneren Bogen finden sich demnach zwei 

 Inflexionspunkle, und von diesen wird der eine in fallen, wenn die Abrundung 

 aufgehoben wird. Durch Aufhebung der Abrundung werden aber alle andere In- 

 flexionspunkle unbeeinflusst als diejenige, welche in der genannten Weise in O 

 hineinfallen. 



Es findet sich also auf O ebenso viele isolierte Inllexionspunkte als Tangenten 

 aus an (0) gehen. 



Der Satz bleibt gültig auch, wenn die Tangenten in O Wendetangenten sind. 

 Sind sie z. B. beide Wendetangenten, gehen ausser diesen keine andere Tangenten 

 durch 0, und nur die in fallenden Inllexionspunkte sind auf (0) isoliert. 



In Verbindung mit (3 und (8) steht noch der folgende Satz, den wir im fol- 

 genden zu gebrauchen haben. 



