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(9) Ein Doppelpunkt ist a ii f d e r zugehörigen Schleife e i n W i n k e 1 - 



punkt erster, zweiter oder dritter Art, jenachdeni 2, 1 oder der 

 Tangenten in O die Schleife ausserhalb schneiden. 



Es schneide eine in berührende Tangente t die Schleife (0) in einem Punkte 

 N. Eine / benachbarte Tangente an (0) wird dann (0) in einem iV benachbarten 

 Punkte schneiden; weil aber (0) paar ist, schneidet / noch (0) in einem anderen 

 Punkte, und dieser muss benachbart sein, weil sonst auch / die Schleife in zwei 

 ausserhalb liegenden Punkten schneiden würde. Wenn aber / nicht (0), sondern 

 den anderen zu gehörigen Pseudozweig ^-j schneidet, dann wird auch eine t be- 

 nachbarte Tangente an (0) den Zweig ;-, in einem benachbarten Punkte schnei- 

 den, und könnte deshalb keinen Punkt mit (0) gemein haben. Erinnern wir 

 uns nun die Seite lö gegebenen Definitionen der verschiedenen Arten von Win- 

 kelpunkten, ist hiermit der Satz bewiesen. 



Wir sind .jetzt hinreichend ausgerüstet um die Kurven vierter Gattung klassi- 

 ficieren zu können. Es gibt infolge (6) zwei Unterabteilungen, jenachdem die 

 Kurve drei oder zwei Schleifen hat. 



(1) 



,§ 11. 



Kurven vierter Ordnung mit drei Schleifen. 



Eine Kurve vierter Ordnung mit drei Schleifen muss nothwendigerweise der 

 vierten Gattung angehören. 



Die drei Schleifen seien (0^), (Oj) und (O3), welche den Doppelpunkten O^, 

 O2 und O3 angehören mögen. Die Kurve kann ausser diesen keine andere Dop- 

 pelpunkte haben, weil aus einem vierten Doppelpunkte drei Tangenten der Kurve 



gehen würden (§ 10 (5)). Sie besteht also aus 

 den drei Schleifen und einer doppelpunktsfreien 

 Restkurve p. Weil aus Oj eine Tangente an {Oo) 

 und eine an (O3) geht, kann durch 0, keine 

 01^^,^^ ''h.^^ L (Ol) ausserhalb 0^ berührende Tangente gehen. 



Eine Schleife enthält deshalb nach «^ 10 (8) keinen 

 isolierten Inflexionspunkt. Aus demselben Grunde 

 folgt noch aus S 10 (9), dass jeder Doppelpunkt 

 ein Winkelpunkt dritter Art auf der zugehörigen 

 Schleife ist. 



Die Kurve besteht aus drei Schleifen 

 ** und einer Restkurve, welche aus drei 



Elementarbögen zusammengesetzt ist. 



Die drei Bögen, aus welchen p zusammengesetzt ist, sind diejenigen Bögen 

 OjOo ==«, i^nO.^ ^ß, 030i=;-, welche keine Schleife enthalten. Weil jeder Do[)- 



