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pclpuiikl auf i> ein Winkelpiinkt erster Art ist, wird eine Tangente an a, welche 

 einer in 0^ berührenden Tangente t^ dieses Bogens benachbart ist, mit der Rest- 

 kurvo noch zwei Punkte gemein haben, nämlich ausser einem benachbarten Punkt 

 von ;■ noch einen Punkt N . Dieser Punkt muss aber auf ß liegen. Wenn näm- 

 lich eine Tangente/aufa rollt, kann dabei kein Schnittpunkt mit ^ von einem der 

 Bögen «, /9, j- auf einen anderen übergehen, weil durch Oj , O, oder O3 keine 

 Tangente dieser Bögen geht. Wenn aber i in eine Nachbarstellung zu einer Tan- 

 gente an a in O.^ gelangt, liegt dem obigen zufolge ein Schnittpunkt in /?. Man 

 sieht also, dass eine Tangente an p nur diejenige zwei Bögen schneidet, auf denen 

 der Berührungspunkt der Tangente nicht liegt. Es müssen deshalb «, ß und ;- 

 Elemeutarbögen sein. 



Die Kurve hat keine andere Doppeltangenten zweiter Art als die (2) 

 drei, welche zwei Schleifen berühren, und ausser diesen nur Dop pel - 

 tangenten erster Art mit den zugehörigen Inflexionspunklen. Diese 

 liegen alle auf den Schleifen, und die Kurve hat keinen isolierten 

 I n f 1 e X i o n s p u n k t. 



Die in diesem Satze aufgestellten Behauptungen sammeln nur das obige. Dass 

 insbesondere die Restkurve keine Tangente mit einer Schleife gemein haben kann, 

 folgt schon daraus, dass eine solche Gerade mehr denn vier Punkte mit der 

 Kurve gemein haben würde. 



Es kann jetzt kein Zweifel über das Aussehen der Kurve entstehen. Erstens 

 kann man im projectiven Sinne die Kurve als im Endlichen liegend annehmen. 

 Die Verbindungsgerade zweier der Doppelpunkte hat keinen weiteren Punkt mit der 

 Kurve gemein. Eine Schleife z. B. (Oj) liegt also auf derjenigen Seite der Gerade 

 OjO^, die nicht O3 enthält, weil die Restkurve p durch diesen Punkt geht. Es 

 liegt also p ganz innerhalb des endlichen Dreiecks 0^0.^0^. 



Einen direkten Existenzbeweis werden wir später geben. 



Es kann eine Schleife sich so zusammenziehen, dass eine Spitze entsteht. Ins- 

 besondere können so drei Spitzen entstehen. Man erhält in der Weise die einzige 

 Kurve vierter Ordnung mit drei Spitzen. Wenn nämlich die Kurve drei solche 

 Punkte hat, gehen durch jeden von diesen zwei Gerade, welche die Kurve in zwei 

 zusammenfallenden Punkten schneiden. Die Kurve wird also der vierten Gattung 

 angehören. Man kann dann weiter der Kurve durch eine kleine Variation mit 

 kleinen Schleifen versehen. 



Man erhält so den Satz: 



Wenn eine Elemen tar kurve vierter Ordnung drei Spitzen haben (3) 

 soll, müssen diese alle erster Art sein, und die Kurve wird ausser 

 diesen keine andere Singularitäten haben, und sie wird aus drei 

 E 1 e m e n t a r b ö g e n zusammengesetzt sein. 



Die drei Doppelpunkte können auch alle in einen dreifachen Punkt zusam- 

 menfallen. Diese Kurve und die in ,1^ 8, Seite 38, genannte sind die einzigen Ele- 

 mentarkurven vierter Ordnung, welche einen dreifachen Punkt haben können. 



