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§ 12. 



Kurven vierter Ordnung mit zwei Schleifen und mit lauter 

 Doppelpunkten zweiter Art. 



Von diesen Kurven betrachten wir zuerst diejenigen, welche einen und nur 

 einen Doppelpunkt haben. Sie sind sogleich durch den folgenden Satz charak- 

 terisiert; 

 '^1 Eine Kurve vierter Ordnung vierter Gattung mit einem und nur 



einem Doppelpunkte zweiter Art ist aus zwei Schleifen zusammen- 

 gesetzt. Die durch die Schleifen begrenzten Gebiete haben keinen 

 Punkt mit einander gemein. Sie hat zwei Doppeltangenten zweiter 

 Art und zwei isolierte Inflexionspun k t e; sonst nur Doppeltangenten 

 erster Art mit den zugehörigen Inflexionspaaren. 



Die Kurve hat zwei und nur zwei Doppeltangenten zweiter Art infolge 

 ,^ 10 (4). Hieraus folgt schon, in Verbindung mit i^ 10 (1), dass die durch die 

 Schleifen begrenzten endlichen Gebiete keinen Punkt mit einander gemein haben. 

 Dass sie zwei und nur zwei isolierte Inflexioiispunkte hat, folgt aus ,^ 10 (8); be- 

 rühren die zwei aus ausgehenden Tangenten beide dieselbe Schleife, dann liegen 

 beide isolierte Inflexionspunkte auf einer der Schleifen, sonst liegt ein auf je einer 

 der Schleifen. Dass andere Inflexionspunkte nur in Paaren auftreten können, sieht 

 man leicht in der schon oft benutzten Weise durch Abrundung des Winkelpunktes 

 und Wiederaufhebung der Abrundung. 



In O kann eine der Tangenten, oder auch beide, eine Wendetangente sein. 

 In mit dann ein — oder auch zwei — isolierte Inflexionspunkte. Eine der Schleifen 

 kann sich so zusammenziehen, dass eine Spitze entsteht. 



Wir gehen nun zu den Kurven mit mehreren Doppelpunkten über. Es seien 

 diese ü^,02..-0„, wo die Schleifen den Doppelpunkten Oj und ü„ entsprechen 

 mögen; wir werden aber diese Schleifen mit einer .\nderung der früheren Bezeich- 

 nungen als (Oj) und {(>,,-, i) benennen. Schneiden wir nun (0[) von der Kurve ab, 

 bleibt eine Restkurve ;-; , und runden wir auf dieser den Winkelpunkt (), ab, wird 

 die abgerundete Kurve p-^ wieder zwei Schleifen haben müssen. Die eine von diesen 

 ist (0„+i); die andere muss, weil die Kurve durch die Abrundung nur in unmittelbarer 

 Nähe von Oj verändert worden ist, aus zwei von Oj ausgehenden Bögen gebildet 

 werden, welche 0, mit einem anderen Doppelpunkte Oo verbinden. Hebt man die 

 Abrundung wieder auf, sieht man, dass die ursprüngliche Kurve eine „uneigent- 

 liche Schleife" (O.^) enthalten muss, welche aus zwei einander nicht schneiden- 

 den Bögen OjOj gebildet wird, und welche zwei Winkelpunkte in Oj und ()., hat. 

 Die früheren Schleifen sollen, in Gegensatze zu den jetzt eingeführten uneigentlichen 

 Schleifen, die eigentlichen Schleifen heissen. 



Durch Fortsetzung des Verfahrens sieht man nun: 

 l2) Hat die betrachtete Kurve n Doppelpunkte, besieht sie aus zwei 



eigentlichen und n — 1 u n e igent I i che n Schleifen. 



