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(3) 



Man hat ferner: 



Ein Winkelpunkt auf einer uneigentlichen Schleife ist immer 

 zweiter Art, es sei denn, liass die Schleife einer eigentlichen Schleife 

 benachbart ist, in welchem Fall er entweder erster oder auch zwei- 

 ter Art sein kann. 



Wir betrachten erstens einen Doppelpunkt Oj , der auf einer eigenthchen Schleife 

 (Ol) liegt. Durch Oj geht eine Tangente an die andere 

 eigentliche Schleife, und also entweder eine oder auch 

 keine Tangente an (OJ. Jenachdem der eine oder der 

 andere Fall eintritt, wird infolge § 10 (3) und (9) Oj auf 

 (Oj) ein Winkelpunkt zweiter oder dritter Art, also auf 

 (0,) entweder zweiter oder erster Art sein. 



Es sei nun (0,.) eine uneigentliche Schleife wo r eine 

 der Zahlen 2, 3, 4 . . n — 2 ist. Lassen wir die uneigentlichen 

 Schleifen {0^){02) ■ ■ (Or-i) weg, bleibt eine Restkurve der- 

 selben Gattung, wenn wir in 0,._i den Winkelpunkt ab- 

 runden. Durch Of geht eine Tangente an (0„+i); die 

 andere durch 0, an die Restkurve gehende Tangente 



muss aber eine der Gerade OrOr-^^ benachbarte Gerade sein, denn nach § 10 (2) ist 

 0,.0,.-i , in 0;._i eine uneigentliche Tangente der uneigentlichen Schleife (0,). An die 

 abgerundete Schleife (Or) geht also durch Or eine und nur eine (eigentliche) Tan- 

 gente, welche ausserhalb 0^ berührt. Nach S 10 (9) folgt daraus, dass 0,. auf (O^) 

 ein Winkelpunkt zweiter Art ist, und es kann dies durch Aufhebung der Abrun- 

 dung in O^-i nicht geändert werden. 



Die Kurve hat zwei und nur zwei isolierte Infi exionspunkte und (4) 

 diese liegen entweder auf den eigentlichen oder auf den diesen be- 

 nachbarten uneigentlichen Schleifen. Keine Schleife, gleichviel ob 

 eigentliche oder uneigentliche, kann mehr denn einen isolierten In- 

 flexion sp unkt haben. 



Die eigentliche Schleife (OJ mit der uneigentlichen Nachbarschleife (0,) zu- 

 sammen bildet eine Kurve vierter Gattung, welche, wenn O^ abgerundet wird in- 

 folge (1) zwei isolierte Inflexionspunkte hat. Hebt man die Abrundung auf, geht 

 eine von diesen verloren, weil 0, auf {O,} infolge (3) ein Winkelpunkt zweiter 

 Art ist. Es gibt also entweder auf (OJ oder auf (OJ ein und nur ein isolierter 

 Inflexionspunkt. Dasselbe gilt für (OJ und (0,,+ J. Auf (0,), wo r = 3, 4, . . n — 1 

 liegt aber kein isolierter Inflexionspunkt. Rundet man nämlich die zwei auf (0,) 

 liegende Winkelpunkte 0,._i und O, ab, erhält man aus (Or) eine Kurve (OV), deren 

 Inflexionspunkte alle nur in Paaren vorkommen. Neu hinzugekommen sind durch 

 die Abrundung zwei Inflexionspunkte R und S; es kommt darauf an zu zeigen, 

 dass diese, die ja durch Aufhebung der Abrundung wieder verschwinden, ein Paar 

 bilden. Es hat aber (O'J eine O^O^-i beliebig naheliegende Doppeltangente t', weil 

 die Gerade 0^0^-1 sowohl in O^-i wie in 0, eine uneigentliche Tangente an (0^) 



D. K- Ü. Vidensk- Selsk. Skr. 7. R;L'Uke, naturvidensk. og niathem. Afd. XI. 2, 



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