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ist, und dieser Doppeltangente gehören R und S als ein Inflexionspaar an. Es 

 seien « und ß die zwei Bögen von (0,), welche O^-i mit Or verbinden. Man sieht 

 dann leicht, dass wenn die Tangente in O^^j an « den Bogen ß schneidet, dann 

 auch die Tangente in Or an a den Bogen ß schneiden wird (durch Or-j und durch 

 Or gehen keine Tangenten an a oder an /?). Den Ausführungen über Winkelpunk- 

 ten zufolge (siehe Seile 14) sieht man hieraus, dass R und S beide auf a liegen. 

 Es muss aber a durch die Abrundung in einen zu t' gehörigen inneren Bogen 

 übergehen, denn jede Tangente an a schneidet ß. Die auf a liegenden Inflexions- 

 punkle R und S bilden also ein Paar. 



(5) Eine Kurve vierter Gattung mit zwei Schleifen hat als Doppel- 

 tangenten zweiter Art 1) diejenige Tangente, welche die zwei eigent- 

 lichen Schleifen berührt, 2) diejenige Tangenten, welche zwei auf 

 einander folgende Schleifen — eigenliche oder uneigentliche — be- 

 rühren. 



Aus dem Beweise der vorigen Satzes folgt, dass eine Gerade, welche eine 

 Schleife (eigentliche oder uneigentliche) zweimal berührt, einen inneren Bogen be- 

 stimmt, so dass sie eine Doppeltangente erster Art ist. 



Wir betrachten nun eine eigentliche Schleife (Oj). Diese kann nach § 10 (4) 

 nur zwei Tangenten mit den anderen Schleifen gemein haben, und die eine von 

 diesen Tangenten berührt nach ,^ 10 (7) die andere eigentliche Sshleife (0„+i). Wir 

 haben nur nachzuweisen, dass die zweite Doppeltangente einen Berührungspunkt 

 auf (O2) haben muss. Es genügt dazu die Schleifen (O3), {0^) . . . (0„+i) abzuschnei- 

 den und den Winkelpunkt in 0, abzurunden. Die Restkurve hat dann infolge (1) 

 zwei und nur zwei Doppeltangenten zweiter Art. Von diesen wird aber die eine, 

 wenn die Abrundung aufgehoben wird, mit der durch 0., an (Oj) gehenden Tan- 

 gente t zusammenfallen, weil t eine uneigentliche Tangente von (Oo) in 0, ist. Es 

 bleibt also eine (Oj) und (Oj) berührende Tangente. 



Wir schneiden nun (Oi) weg, und haben eine Restkurve derselben Gattung, 

 für welche, wenn 0^ abgerundet wird, {0.,) eine eigentliche Schleife (O,)' wird. 

 Hier haben (0.,)' und (0„+i) eine Tangente gemein, diese geht aber, sowie wir es 

 schon oft gesehen haben, wenn die Abrundung aufgehoben wird, in die durch Oj 

 an (0„+j) gehende Tangente über. Betrachtet man ferner die aus (Og) und (O3) 

 zusammengesetzte Kurve sieht man ganz ähnlich wie oben, dass (0,) und (Og) 

 eine und nur eine Tangente mit einander gemein haben. 



Für die Formbestimmung einer Kurve vierter Gattung mit zwei Schleifen und 

 mehreren Doppelpunkten gibt der folgende Satz die nöthigen Anhaltspunkte: 



(6) Liegt die Kurve ganz im Endlichen — was durch Projektion 

 immer erreicht werden kann — bilden die auf einander folgenden 

 Doppelpunkte 0^, 0^...0„ einen konvexen Polygon, und die Kurve 

 liegt ganz in den Dreiecken, welche von einer Polygonseite O^-jOr und 

 den Verlängerungen der Nachbarseiten über 0^- 1 und 0^ hinaus be- 

 grenzt sind. 



