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Wenn nämlich 0^0„ . . . 0„ kein konvexer Polygon wäre, könnte man eine 

 Gerade finden, welche mit vier Polygonseiten Punkte gemein hätte. Weil von den 

 Schnittpunkten höchstent der eine auf OjO„ liegen könnte, würde die Gerade nach 

 § 1 (3) 6 Punkte mit der Kurve gemein haben. 



Es müssen ferner die zwei Bögen, welche zwei auf einander folgende Doppel- 

 punkte Or 1 und Or mit einander verbinden, beide auf derselben Seite von Or-^Or 

 liegen, weil diese Gerade sowohl in O^-j wie in Or eine uneigentliche Tangente ist, 

 und sie müssen in derjenigen durch Or-^Or begrenzten Halbene liegen, welche 

 Or-2 — oder Or+i — nicht enthält. Hiermit ist wie leicht zu sehen der Salz be- 

 wiesen. 



Eine wirkliche Konstruktion kann man — wie bei den meisten der vor- 

 hergehenden Kurven — durch zwei einander schneidende Ovalen haben. Man braucht 

 nur von den auftretenden „uneigentlichen Schleifen" eine beliebige Zahl von auf 

 einander folgenden auszulassen und dann die zwei auftretenden „freien" Winkel- 

 punkte abzurunden. Rundet man auch einige von den anderen Winkelpunkten so 

 ab, dass die Kurve nicht zerfällt, kann man der Kurve so viele Inflexionspaare 

 zuerteilen, als man will (siehe Fig. 16). 



Es muss doch bemerkt werden, dass man so nur diejenige Kurven erhält, 

 deren isolierte Inflexionspunkte auf den eigentlichen Schleifen liegen, während sie 

 nach der Teorie auch auf den benachbarten uneigentlichen liegen können. 



§ 13. 



Über eine Relation zwischen den Singularitäten einer Elementarkurve 

 vierter Ordnung mit Doppeltangenten. 



Auf einer Elementarkurve vierter Ordnung können, wie wir gesehen haben, die 

 Zahlen der Inflexionspunkte w, der Doppelpunkte d, und der Doppeltangenten t be- 

 liebig gross sein, nur haben wir sie immer als endlich vorausgesetzt. Die Zahl der 

 Rückkehrspunkte ist dagegen begrenzt, es können höchstens deren drei auftreten, 

 und in diesem Falle ist sogleich 



t = w = d = 0. 

 Eine bestimmte Zahl der Singularitäten hat man noch, wenn die Kurve keine 

 Doppeltangenten hat. Es ist dann entweder: 



^ = 0; rf = 2; iv = i, 

 oder: / = (); c/ = 3; iv =2. 

 Wenn aber Doppeltangenten auftreten, während keine Rückkehrspunkte vor- 

 handen sind, hat man immer die Relation 



u; = 2 (t — d). 

 Dass, wenn d^O. w^=2t, folgt sogleich aus den Entwickelungen in §6. Man 

 kann nun den Nachweis der genannten Relation auf diesen Fall durch passende 



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