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Abrundungen zurückführen. Hierbei ist jedoch wegen der eventuel auftretenden 

 neuen Doppeltangenten und wegen des eventuellen Zerfallen der Kurve so viele 

 Rücksichte zu nehmen, dass ein direktes Nachzählen einfacher ist. 



Er sei t^ die Zahl der Doppeltangenten erster Art; w^ = 21^ ist dann die 

 Zahl, der in Paaren auftretenden Inflexionen. 



Eine Kurve dritter Galtung hat ebenso viele Doppeltangenten zweiter Art als 

 Doppelpunkte, während isolierte Inflexionen nicht auftreten. Man hat also 



o: ii; = 2(/ — cf). 

 Bei den Kurven mit drei Schleifen fanden sich drei Doppeltangenten zweiter 

 Art, nämlich diejenigen, welche zwei der Schleifen berühren, aber keine isolierte 

 Inflexionen. Man hat also 



w = 2t^; l = t^ +3; d = 3 

 o: w = 2{t — d). 

 Bei den Kurven vierter Gattung mit zwei Schleifen fanden wir, wenn die 

 Kurve n Doppelpunkte hat, n+ l Doppeltangenten zweiter Art, nämlich teils diejenigen 

 Tangenten, welche die zwei Schleifen berühren, teils diejenigen neuen Tangenten, 

 welche zwei auf einander folgende eigentliche oder uneigentliche Schleifen berühren. 

 Man hat also, indem die Kurve immer zwei isolierte Inflexionspunkte hat: 

 u; = 2/i+2; i = t,+n + l; d = n 

 o: w = 2{t~d). 

 Bei den Kurven vierter Ordnung können auch Schnabelspitzen auftreten aber 

 höchstens deren zwei. 



§ 14. 



Die einteilige Elementarkurve vierter Klasse. 



Die reciproke Polarfigur einer Elementarkurve ist wieder eine Elementarkurve. 



Um sämtliche einteilige Elementar- 

 kurven vierter Klasse zu erhalten 

 braucht man also nur die Polar- 

 figuren zu den im Vorhergehenden 

 bestimmten Kurven vierter Ord- 

 nung zu nehmen. Man wird es 

 übrigens für die Zeichnung ein- 

 facher finden die früheren Sätze 

 als deren Endresultate anzuwen- 

 den; lässt man nämlich die In- 

 F^'S '^- ^'S- -^- flexionspaare aus, kann man di- 



rekt aus der Teorie die Zahl des Elementarbögen, aus denen die Kurve zusam- 

 mengesetzt ist, ablesen. 



