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Einer Kurve vierter Ordnung mit drei Schleifen entspricht eine Kurve mit 

 drei Doppeitangenten und drei Doppelpunkten. Die Kurve lässt sich nicht ins 

 Endliche projicieren, und man hat die in Fig. 25 angegebene reducirte Form. 



Fig. 26. Fig. 27. Fig. 28. 



Eine Kurve vierter Klasse und vierter Gattung hat s Doppelpunkte, s — 1 Dop- 

 peitangenten (s>2) und zwei isolierte Rückkehrspunkte. Ich gebe in Fig. 26, 27 

 und 28 die reduzierten Formen für s = 2, 3 und 5. 



§ 15. 



Nachträgliche Existenzbeweise. 



Im Vorhergehenden haben wir schon von der Mehrzahl der als möglich ge- 

 fundenen Typen Beispiele gegeben. Eigentlich sind nur die Kurven mit drei 

 Schleifen ohne konstruktive Bestimmung gelassen. Diese — und Beispiele der 

 andern, inklusive der Kurven dritter Ordnung — erhalten wir mittels einer qua- 

 dratischen Tranformation, indem wir zuerst den folgenden Satz aufstellen : 



Man kann immer ein nicht algebraisches Oval wund einen Punkt 

 A so herstellen, dass w von jedem durch A gehenden Kegelschnitt in 

 höchstens vier Punkten geschnitten wird, und das sowohl, wenn 

 man verlangt, dass A innerhalb, wie auch, wenn er ausserhalb w 

 liegen soll. 



Wenn A ausserhalb iv liegen soll, kann man w als die Centralprojektion 

 einer elliptisch konvexen Ovales w^ nehmen — w^ existirt ja jedenfalls als nicht 

 algebraisch — und A als das Bild eines unendlich fernen Punktes in der Ebene 

 von Wj . Es folgt dies unmittelbaar daraus, dass ein Hyperbel oder ein Parabel 

 mit einem elliptisch konvexen Oval höchstens vier Punkte gemein haben kann. 



Um aber A innerhalb w zu bekommen wende man eine duale Transformation 

 an; man nehme z. B. iv als die Polarfigur eines elliptisch konvexen Ovales w^ in 

 Bezug auf einem Kreis, dessen Centrum ein innerhalb w^ liegender Punkt A ist. 



