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Es wird dann w ein Oval sein, der mit jedem durch .4 gehenden Kegelschnitt 

 höchstens vier Tangenten gemein hat, und es wird desshalb nach § 4, Seite 25, 

 auch höchstens vier Punkte mit diesen Kegelschnitten gemein haben. 



Man erhält nun eine Kurve vierter Ordnung — eventuel auch zweiter — 

 wenn man w durch eine quadratische Transformation transformirt, deren eine 

 Hauptpunkt A ist, wobei wir uns immer w und A so gewählt denken, dass die im 

 obigen Satze genannten Bedingungen erfüllt sind \ Wir nehmen im folgenden als 

 quadratische Transformation eine solche involutorische mit drei Hauptpunkten 

 A, B, C, dass jedem Hauptpunkte die gegenüberliegende Seite des Haupldreiecks 

 ABC entspricht. 



Sind nun A, B, C so gewählt, dass keine der Geraden AB, BC und CA mit iv 

 Punkte gemein hat, erhält man eine Kurve vierter Ordnung ohne Doppelpunkte, 

 sofern nur ein beliebiger durch A, B und C gehender Kegelschnitt vier Punkte mit 

 w gemein hat. 



Wählt man A innerhalb w, B oder C oder auch beide ausserhalb derselben, 

 erhält man eine Kurve vierter Ordnung die von jeder Geraden der Ebene geschnit- 

 ten wird, und also zweiter Gattung ist. Jenachdem die Gerade BC das Oval 

 schneidet oder nicht schneidet, hat die Kurve drei oder zwei Doppelpunkte. 



Liegen A, B und C alle innerhalb w, erhält man eine Kurve dritter Gattung. 

 Eine solche Kurve mit einem Doppelpunkte kann man nicht so erhalten. Man 

 erhält aber diese, wenn man A innerhalb w wählt, aber B und C als konjugiert 

 imaginäre Punkte nimmt — was ja eben so gut geht; man muss nur dafür sorgen, 

 dass w von der Geraden BC geschnitten wird. 



Werden alle drei Punkte A, ß und C ausserhalb w gewählt, aber so, dass die 

 drei Hauptgeraden alle das Oval schneiden, erhält man eine Kurve vierter Gattung 

 mit drei Doppelpunkten. Es fragt sich nur, wann man eine Kurve mit drei und 

 wann eine mit zwei Schleifen erhält. Um dies abzumachen betrachte man einen 

 Doppelpunkt 0, der auf einer Schleife liegt; man kann dann der Kurve — näm- 

 lich der Schleife — entlang von ausgehen und wieder zu zurückkehren ohne 

 einen anderen Doppelpunkt zu überschreiten. Wenn O nicht auf einer Schleife 

 liegt, ist das aber bei den Kurven vierter Gattung nicht möglich. Man erhält also 

 eine Kurve mit drei Schleifen, wenn die Schnittpunktepaare der Geraden Aß, BC, CA 

 mit w einander auf w nicht trennen, alzo z. B., wenn w jede der endlichen Seiten 

 des Dreiecks ABC schneidet. Man erhält sonst eine Kurve mit zwei Schleifen, z. B. 

 wenn AB in der Verlängerung über ß, BC in der Verlängerung über C und AC 

 in der Verlängerung über C von iv geschnitten wird. 



Aus der entwickelten Teorie der Kurven vierter Ordnung, kann man umge- 

 kehrt Sätze über elliptisch konvexen Ovalen herleiten. 



' Für algebraische Kurven ist das vorliegende Transformationsproblem in vollständiger Ausfüh- 

 rung gelöst vor A. Brill: Über rationale Curven vierter Ordnung, Math. Ann. Bd. XII, 1887 S 90. 

 Denkt man sich das Oval analytisch, könnte man etwas ähnlicher für das erweiterte Problem thun. 



