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Aus der Theorie der Kugelfuiiktionen ist es bekannt, dass in der Entwickelung 

 - = ^ = - [l + ('') P, ' (cos 0) + ( '^)V,' (cos 0) 



+ --+(^)"PA(cos*) + •••] ^2^) 



die Koeffizienten P«^ der stets giltigen Ungleichung 



— 1 < P„i (cos «^) < + 1 

 unterworfen, also numerisch kleiner sind als die Koeffizienten in der Entwickelung 



von . In entsprechender Weise kann es bewiesen werden', dass ganz allge- 



r Tj 



mein in der Entwickelung 



^ ^ 1 + (-^]p iP(cos0) + i ''jYp.P {cos 0) + -- 



pP rP 

 die Ungleichung 



(n + 1) ■ • • (n + p - 1) 

 (p-1)! 



< P^P (cos 0)< + (ß+^);--in+P~i) (27) 



(p-1)! 



stattfindet, die Koeffizienten also immer numerisch kleiner sind als die Koeffizienten 

 der Entwickelung von j~ ^^^ . Wir haben also in unserem Falle, wo /) = 3: 



(n + 1) (n + 2) 



1 



{r~r,)P ■ 

 (n + 1) (n + 2) 



<P„3 (cos(;f')< + 



(28) 



2 ="* ^ — "'- ' 2 



Wenn wir dann ausserdem beachten, dass der Koeffizient b immer numerisch 

 < 1 ist, können wir aus (25) folgende Ungleichung bilden, wenn wir mit R^ den 

 Maximalwert, Qj (1 + ej, von Tj bezeichnen: 



1 



00 



m 



< 



+ 



,j[,2'î'i+'H^(^)-c»..„d„ 



00 1 



CO 



^ 



(n + 2)(n + 3)//?,\"+i . 



I 1 sm i> ai> 



(29) 



unter der Voraussetzung, dass wir den zwei Summenintegralen dasselbe Vorzeichen 

 geben. 



Wir haben aber 



r 1 4 f 



\ — sniüdü ^ — \cos^"+^ ^liüsin 'ivd'^kv 



2g 



und also 



•00 



(n + 1) r"+» 



'(> 00 



in + 2)(n + 3)(RAn+\. 



1^1 sm ü du 



00 



n + 3/i?i\"+i 



'X-^C^') 



(30) 



' Verallgemeinerung eines Satzes aus dir Tiieoric der Kugelfunktionen. Arkiv for Matematik, 

 Astronomi och Fysik. Stockliolni 190ü. 



