SÉANCE DU 4 JMLLEI 192I. 2^ 



(ou M), on peut déduire, par deux quadraluies ( ou qualre) une surface S 

 applicable sur R (ou M), telle qu'à tout point réel de K (ou M) corres- 

 ponde sur S un point ayant deux coordonnées réelles et la Iroisième ima- 

 ginaire pure; or j'ai montré, dans une Note antérieure (' ), que l'on déduit, 

 sans quadratures nouvelles, d'un tel couple de deux surfaces applicables, 

 qualre systèmes cycliques réels; de plus, le réseau conjugué commun à S 

 et R(ou M) se trouvant connu par Ténoncé même du problème, les sys- 

 tèmes triples orthogonaux correspondants s'obtiendront ici sans nouvelb' 

 quadrature. Dans un travail qui paraît actuellement au Bulletin des 

 Sciences malhématiques j'ai repris une indication de Darboux relative 

 aux systèmes cycliques : on cherche à constiuire systématiquement un 

 couple de deux surfaces applicables, l'une fire et réelle, l'autre surface 

 roulante^ imaginaire : or, si l'on part d'une surface roulante imaginaire, 

 j'ai pu indiquer un procédé régulier pour décider s'il existe ou non des sur- 

 faces fixes réelles correspondantes; au contraire si l'on se donne la surface 

 fixe réelle, il paraît bien plus délicat de décider s'il existe ou non des sur- 

 faces roulantes correspondantes propres à engendrer un système cyclique 

 réel : les surfaces S de cette Note résolvent donc la question si l'on part 

 d'une surface de révolution ou d'une surface moulure réelle. Les quadra- 

 tures indiquées ayant été faites, la surface S obtenue ne renferme finale- 

 ment comme paramètres arbitraires que ceux qui sont relalifs à un dépla- 

 cement réel ou imaginaire : ces paramètres disparaissent donc dans les 

 systèmes cycliques réels obtenus. 



Quand on part d'une surface réelle R, la surface S est aussi de révolution, 

 mais à axe de révolution isotrope ; sur R et S les méridiens se correspondent , 

 et aussi les parallèles. Si l'on se borne, en appliquant la construction de 

 Darboux (-), aux points invariablement liés à S répartis sur l'axe isotrope 

 de S. les systèmes cycliques obtenus sont particulièrement simples à. carac- 

 tériser : on considère une surface de révolution réelle R,. un point M 

 variable sur R,, le centre m du parallèle du point M, le poinl t où le plan 

 langent en M à R, rencontre Taxe de R,, la sphère ii de centre /et rayon /m, 

 la sphère ï' de centre M et rayon \\rn. Le cercle G commun à il et 1 

 engendre le système cyclique annoncé. Le système triple orthogonal corres- 

 pondant est ainsi constitué : les sphères 1 en constituent la première 

 famille; le point M décrivant une méridienne ^e R,, l'enveloppe de )l' est 



(') Comptes rendus, t. 171, J920, p. 1049. 

 {■-) Théorie des Surfaces, t. k. p. 12G. 



