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Fune des surfaces de la seconde famille; les surfaces de la troisième famille 

 sout les trajectoires orthogonales des cercles C. 



2. [^a surface S la plus générale est donnée par les formules 



SX + A' = ki[-u'-f" ( // ) + 2 uf ( a) - 2/( u ) + ('-/"(« ) + 2 ro' ('•) - 2 9 (<•)] , 

 Z=-r/"(») — '^'(r), 



Z- est une constante réelle ou imaginaire; faire varier /• revient à faire 

 tourner d'un bloc la surface S autour de O:; d'un angle réel ou imaginaire, 

 de sorte que X- ne joue finalement aucun rôle dans les sNstènies cycliques 

 trouvés. Le ds- de S est 



(2) ds-" = u\f "" [a) chr- + y {u) + f{v)Ydv''. 



Si est nulle identiquement, on a le ds- caractéristique des surfaces de 

 révolution; sinon, on a le ds- caractéristique des surfaces moulures. 



Les cosinus directeurs y., ^3, 7 de la normale et l'élément linéaire de la 

 représentation sphérique sont donnés par les formules 



//--+- 1- ., I iv , du- + dv- 



^ ' ' u ' /, a ' u u- 



Quand on cherche les déformations continues de la surface (i), où le 

 système (u) (v) reste constitué des lignes de courbure, on trouAe que l'élé- 

 ment d^- doit ou conserver la forme (3), de sorte que k varie seul, ou bien 

 prendre la forme 



, , / /'^ , , "' — /'' # ., \ I 

 . . \//^ — /i- h- ) u- 



qui dépend du paramètre numérique // ; la foime (3 ) est obtenue comme 



limite de (4)- pour h = ce. Si l'on pose cosO = - et o — j' l'élément (4) 



devient r/0-+ sin-Or/'^- et l'on obtient ainsi les surfaces R ou M applicables 

 sur S. - 



3. Le cas le plus simple csty(//)^ i/, o(r)r=^o; la surface S a alors pour 

 équation .z-'- + v" H- c' = A( j? — /y)', où X est une constante; S possède la 

 propriété curieuse d'être à la fois de révolution, surface minima, développée 

 de surface minima. 



Si cette surface S roule, non pas sur la caténoïde, mais sur la développée 

 de la surface minima d'Laneper, on obtient des systèmes cycliques d'une 



