SÉANCE DU II JUILLET 1921. 7I 



En définitive, on a 



I A >.| = B/J.1+ Gvi, 



(III) Bix,= Cv, + Mi, 



( Cv;j=: A>;3 + Bff.3. 



Les fonctions X, [x, v satisfont donc à ce système de trois équations aux 

 dérivées partielles. 



Ces équations sont nécessaires et suffisantes. 



En effet, remarquons d'abord que ce système est tel que l'on peut en tirer 

 les valeurs des dérivées secondes X23, fJ.31, '^2- On trouve 



(v — ,J.) (A — v) (p. — X)Ào3= (v — p.) (v + fJL - 2>,) A2>.3— (>' - v)-^>.2f/3 4- (/-t — >.)'>'3V2. 



Or, si l'on revient aux fonctions x, y, les trois dérivées secondes X03, u-m 

 v,2 n'introduisent que les deux dérivées troisièmes x^.^^, 7,03. On reconnaît 

 qu'elles sont identiquement compatibles [en tenant compte des équa- 

 tions (III)]. 



Enfin considérons les équations qui définissent A, ji., v : 



Exprimons qu'elles sont compatibles en x. 11 est nécessaire et suffisant 

 que 



(IV) (v — p.) J23=>^3y2- P2J3, 



( (>-- ^^)j31=>Mr3-f^3jl- 



En calculant les trois valeurs que l'on peut en déduire pour 7,03. on 

 reconnaît qu'elles sont les mêmes, si X, [jl, v satisfont au système (III). 



D'ailleurs, plus simplement, on peut dire : 



Les équations (III) considérées comme équations en ^, 7, sont nécessaires 

 et suffisantes. Elles le sont donc aussi si on les considère comme équations 

 en X, p., V. 



Conclusion. — La recherche des systèmes triples-orthogonaux peut alors 

 se poursuivre de deux manières différentes : 



1 ° O u bien considérer le système (III) comm e un système de trois équations 

 aux dérivées partielles du second ordre de x,y', 



2" Ou bien le considérer comme un système définissant les trois fonctions 

 X, ui, V. Ce système est plus simple que les équations de départ qui déter- 

 minaient x,y, z, en ce sens que, linéaire par rapport aux dérivées, chacune 

 d'elles ne renferme que les dérivées par rapport à une seule variable. 



