SÉANCE DU l8 JUILLET I92I. 125 



contient aucun terme du second ordre en //, c, (v; elles écrit 



(2) ■ |>(E) 4- QiF) + H(G) = Â(«) + i3(r) -h C(u') -\-y.u + pi> + -/>r, 



où A, 13, G désignent certaines expressions dilTérentielles linéaires ne con- 

 tenant, comme P, Q, R, que des termes du premier ordre. 



Désignons par P, Ô, K, A, B, C les expressions obtenues en remplaçant 

 dans P, (,), K, A, B, G les symboles ^ par des indéterminées P, et for- 

 mons l'expression 



L'étude du système (1) comprend deux cas bien distincts, suivant que M 

 est ou non identique à zéro. 



1. Supposons que iM ne soit pas identiquement nul. Posons P, = ~ 

 L'équation M = o est une équation aux dérivées partielles du premier 

 ordre qui définit certaines multiplicités exceptionnelles 9 = o. Gonsidérons 

 une multiplicité 9 = cjui ne soit pas intégrale de Téquation M = o, et 

 plaçons-nous au voisinage d'un point de cette multiplicité où l'expression M 

 ne soit pas nulle. Donnons-nous au voisinage de ce point des valeurs (holo- 

 morphes) pour n, v, iv sur la surface 9 = o, en assujettissant seulement ces 

 valeurs à vérifier la relation 



(3) F.E + n.F -H K.G ^F/+ Q/'+ H/" 



(il est aisé de vérifier que cette relation lie bien les valeurs de u, v, w et de 

 leurs dérivées sur la surface = 0). 



Le système (i) a une solution (holomorphe) et une seule se réduisant 

 sur = au système de valeurs données. [La solution dépend donc de deux 

 fonctions arbitraires de n — i variables ( ' ). J 



Si la surface 9 = satisfait à l'équation M = o, ?/, r, iv doivent satisfaire 

 sur cette surface non seulement à la relation (2), mais encore à une deuxième 

 relation qu'il est aisé de former. M = o est l'équation des surfaces carac- 

 téristiques (au sens de Beudon et de M. Hadamard). 



3. Supposons maintenant que M soit identiquement nul. Le système (i) 

 peut alors se ramener par un changement de variables indépendantes à une 

 forme très simple que notre étude générale conduit nécessairement à mettre en 



(') Comme plus bas, nous sous-eiUendons les mots « el peut-être d'arbitraires de 

 genre inférieur » (voir la >ote précédente). 



