SÉANCE DU 18 JUILLET I92I. I27 



ANALYSE MATHÉNLVTIQUE. — Sur ii/i mode (l'intégraùon proL;ns.si/ et 1rs 

 caractères irinlégrdbilité correspondants. \ote ( ') de M. Arnaio Dex.ioy, 

 présentée par M. I^mile Bord. 



La présente Note se rattache à celles que j'ai soumises à l'Académie aux 

 dates des i\ mars. 1 avril, 11 avril et 17 mai derniers; sa place logique est 

 à la suite de la troisièiiK-. .le poursuis dans la Communication actuelle 

 rétude, commencée dans ma Xole du ii avril, des caractères d'une fonc- 

 tion intéiirahle (T^ ,). 



Ql'atiuémf. c.vi'.vcTi.iu.. — Supposons rèsfdii le problème contigu pour un 

 ensemble parfait P, dont tout point appartient à une infinité de segments 

 spéciaux 1 de P. 



Nous dirons que \v problème contiga pour un ensemble fermé E est résolu, 

 si nous connaissons T^ , (/", «, b, c) sur tout segment contigu à E. 



Soient a et b deuxjpoints distincts d'un même segment a contigu à P, 

 .1- un point d'un autre conligu t'. Parmi les 7 (en infinité dénombrable) négli- 

 geons-en un nombre fini, les segments t', comprenant tous les r; de rang 

 inférieur à/), i^ntre les segments restants c?' , soieni -7., les segments deux à 

 deux distincts tels que tout 7' soit identique à un cr., ou inclus dans un 7,. 

 Si/? est assez grand, les intervalles a et r sont extérieurs aux r;,.. 



Pour chacun des -7., (ici, en nombre iin'i), assimilons la succession des 

 râleurs de i au.v /jwitre points y... — c;.,, a^, ^3.;, ,3^ -h ri.^ ((73 est :z.3., ) à une 

 progression arit/imélique T(y.,. — cr,, a.,, '^,^) et T(a.,, fl.j, ^3 4- i.^) s annulent. 

 Si donc nous appliquons la formule (2) (voir Note du 1 1 avril) à la suite r, 

 doul les deux premiers éléments sont a et A, dont le dernier est r, et dont les 

 autres sont, dans leur ordre géométrique, les nombres a, — s^, a.j, 3.j, it. 4- o-.j 

 relatifs aux 7., compris entre u et v., cette formule (2) se réduit à des termes 

 tous connus. Elle nous donne une expression approchée S(7') de T(«, b. x). 



. y ; — 



L une foncliou dont le-^ déiivées sont proporliunneile^ ù 



()s ()s as 



r- ps : \- '/s; — r- / v. 



d^- ^ (Jy ' ():■ 



La solulion générait' du s\ sterne (i)' supposé sans si-conds meniliies e-^t 



0( i)i Ot 



u =: S ■> C = S ) IV = .V — - • 



Ojc Ov <Jz 



C) Séance du 11 juillet 19 u. 



