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Cette application de la formule (2) cslla premie/y jHtrlù' de \a cinquième opé- 

 ration, relativement à a, b, r el aux œ' négligés. 



En vertu du troisième caiactère des fonctions résolubles (2, s), nous avons 

 ce quatriciue caractère des fonctions intégrables (To^) : ou bien, quels que soient 

 les segments u et v^ r expression '^{n'^ doit tendre vers unelimite unique [le calcul 

 de cette limite sera la seconde partie de la cinquième opér(ition\. 



La râleur de cette limite sera par définition T.^^(/', a, b, jc), qui ^ par appli- 

 cation ultérieure de la deuxième opération, donne entre les extrémités de P, 

 T(«, b, c), résoluble (2, s) en c sur P; 



Ou lUEN il existe sur P un ensemble fermé K non dense sur P, tel que la 

 condition précédente soit satisfaite, quels que soient u et v compris dans un 

 même contigu de K . 



Premier c.vractère (forme générale). — Soit P un ensemble parfait tel 

 .que les deux ensembles 12 et il', formés respectivement des points de P 

 appartenant à un nombre limité et à uuc infinité de segments a spéciaux 

 de P, soient l'un el Vautre partout denses sur P. Supposons résolu le pro 

 blême contigu pour P. 



Gomme plus haut, considérons les 1' , les a.j, puis égalons à zéro tous 

 les T(a3 — 0-3, ag, [î).,) et T(a3, [^3, ^3+^3). Les points de P étrangers 

 aux ^3 forment un ensemble fermé E( a) de noyau parfait P(cr'). Soit (^^ ) 

 l'ensemble des points non intérieurs aux 0-3. Q(<7') contient Efa') et divers 

 segments. 



Par la première partie de la cinquième opération, nous avons une expres- 

 sion approchée S(o', a, ^, x) de T sur chaque partie commune à Q(a-') et 

 à un même intervalle contigu i'(cr') de E^t'). Alors : 



Ou RIEN : i** a„, [5J„ étaîit les extrémités de v,^(^^J'), ^5 S('7', a,j, [ÎJ„, x) a 



des dérivées par rapport 11 x aux points a„ et |:^„, et la différence n„(a') et la 

 demi-somme /*„(^ ) '^^^ valeurs de ces dérivées se prêtent aux calculs de la qua- 

 trième opération la fonction éijalc à o sur P(cr') et à " " ^, sur v„(i'), et la 



fonction nulle sur P(c7' ) et égale à r,^(n') sur v„{'^') sont totalisables 



i"" Quand p croît, a, />, c restant fixes sur il, S(or', a, b, c) tend, indépen- 

 damment du choix des a', vers une limite résoluble (2, s) en c sur P, et qui est 

 par déjinition To.,(/, a, b, c); 



Ou RIEN il existe sur P un ensemble fermé Q, non dense sur P, indépendant 

 des n' choisis, et tel que la double condition précédente est vérifiée sur toute 

 portion de P sans jmints communs asrc (^. 



Le calcul précédent, consistant en une première partie de cinquième 



