SÉANCE DU 18 JUILLET I92I. I29 



opération, une seconde, une quatrième opération, puis un passage à la 

 limite, sera la sixième opération. 



Soit enfin P un ensemble parfait quelcon({ue dont le problème contigu 

 est résolu, mais ne vérifiant aucun des trois cas examinés ( i^ 12 identique 

 à P, 2*' H' identique à P, 3'' Q et Çï' partout denses sur P). Il existe alors 

 sur P (propriété générale d'un? décomposition de P en deux ensembles O 

 et H') un ensemble fermé J, non dense sur P, telle que toute portion de P 

 sans points communs avec J réalise l'un de ces trois cas. 



Dans chaque contigu à J, on appliquera la 4^, la 5'' ou la 6^ opérati(m. On 

 peut les effectuer simultanément en considérant un même couple de 

 famille a', 1^ de P. Si / présente les quatre caractères, on se trouvera 

 résoudre le problème contigu pour un certain ensemble fermé L non dense 

 sur P et contenant J. 



Processus d'intéi^ralion. — Supposons que / présente les quatre carac- 

 tères énoncés. Je dis que les six opérations décrites, effectuées dans un ordre 

 convenable, une infinité dénombrable de fois, nous donnent To „,(/, <7, />,c) 

 quels que soient «, 6, c dans l'intervalle de définition de/. 



Nous avons défini E,, P,, et résolu le pioblème contigu pour P,. Sup- 

 posons définis Ea(,, V^, pour toutes les valeurs de a' inférieures à un nombre 

 ordinal a, et résolu par une infinité dénombrable d'opérations-types le pro- 

 blème contigu de P^^. Nous allons définir E^, P^ et résoudre le problème 

 contigu de P», avec la même condition. 



P» est toujours le noyau parfait de E^. Si a est de première espèce, E,; est 

 l'ensemble déduit de Po(_, comme respectivement H, K, Q ou L sont 

 déduits de P (selon que Pa-i n^a qu'un nombre limité de segments spé- 

 ciaux o-3j_,, ou que tout point de P appartient à une infinité de a-a_, , ou que 

 cette dernière circonstance et la circonstance opposée se rencontrent l'une 

 et l'autre en des points partout denses sur P»- n ou qu'aucun des trois cas 

 précédents n'est vérifié). E^ est fermé, inclus dans P^t-, et non dense sur lui. 



Dans chaque intervalle contigu de E,,, la 4*^5 la ^^ ou la 6^ opération 

 donnent l'intégration cherchée ; la seconde opération résout ensuite le pro- 

 blème contigu de E^. Les 3'' et 2*" opérations appliquées une infinité dénom- 

 brable de fois résolvent celui de P». 



Si a est de seconde espèce, E^ est l'ensemble commun à tous les P»'. La 

 seconde opération appliquée au plus une fois à chaque contigu de E,, résout 

 le problème contigu pour E^,. On achève comme ci-dessus pour P^. 



Eo^ étant fermé et non dense sur E^^', les E^ sont tous nuls à partir d'un 

 certain rang p (de seconde espèce). La solution du problème contigu pour 

 Ep nous donne To « (/, a, b, c) quels que soient n, h et c. 



c. R., 1921, 2' Semestre. (T. 173, N° 3) 9 



