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on peut, dès qu'on a mis les polynômes P, Q, R, S sous une forme appro- 

 priée, obtenir un sysLème de deux équations aux dérivées partielles linéaires 

 vérifiées formellement par cette fonction (' ). Or, les conditions (i ) écrites 

 de la manière suivante : 



constituent un système de deux équations aux différences finies linéaires 

 du premier ordre. On est donc naturellement conduit à examiner si la 

 méthode employée pour former les équations aux dérivées partielles des 

 fonctions hypergéométriques générales ne pourrait pas s'étendre aux Jonc- 

 tions plus i^ènéralcs ¥ {.r, r), telles que les coefficients a, „n vérifient un système 

 de deux équations aux différences finies linéaires , mais d'ordre quelconque : 



(2) 2^ ^'r..-^ "', ")(^m^r,u+s= O, 

 r = 



lV,.s et Ç),..s désignant des polynômes en m et n, au nombre de (/>H-i) (</+ i) 

 et (])'-{- i)(q' -i- i), soumis seulement aux restrictions suivantes : i" les 

 degrés de P, , et Q, , sont au plus égaux respectivement à ceux de J*^,^ 

 et ^^\, v;-; 2'^ Pyj^ et <^)/,v7/ ne s'annulent pour aucune valeur des entiers posi- 

 tifs m et n\ 3" les équations (2) et (2') sont compatibles. 



Effectivement, je vais montrer qu'il est aisé, dés que les polynômes P, ., et (), ., 

 sont donnés, de former uji système de deux équations aux dérivées partielles 

 linéaires, vérifiées par toute fonction F(^, j'), dont les coefficients a ,„ „ satis- 

 font aux équations (2) et (2'). 



If. La démonstration repose, comme pour les fonctions hypergéomé- 

 triques générales, sur la possibilité de mettre un polynôme arbitraire II (a/2,w) 

 sous la forme 



(3) M{,n^n).=^l.j^,M,\l 



A,'„ z^ iii{ m — \). . .(in y + I ), A^ = /*(/;— i )...(« — /.+ i ) 



et sur l'identité évidente 

 (a) ^'"' r " n ( /?? , ■ /«) — y >. y /. -i-J y'-' /"" , , ( .r'" r " ) 



./. 



(' ) Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles des fonctions hyper géo' 

 métriques tes plus générales {Comptes rendus, t. 172, 1921, p. i634). 



