SÉANCE DU 1^^" AOUT 192I. 2Ô7. 



Nous meltrons donc les polynômes P et (} sous la foi-me O) de la manière 



suixanfc : 







/• =^ , 1 . 



.s- = O, 1 , 



O, I . 



Voici quel est alors le système vérifié par la fonction F(œ, y) 



(5) 



(•> ) 





i. /■■ 



U-/' Oy 

 OxJ dv'- 



= o, 



En efTct, si Ton développe en série, selon les puissances de x cl r, les 

 crochets de (5) et (5'), le coefficient de x"'^i'y"^'' dans le premier, et celui 

 de .i-"'+i> y^'i' dans le second (m>o, n^o) se réduisent, d'après l'iden- 

 tité (4), au premier membre des équations (2) et (2') respectivement; ils 

 sont donc identiquement nuls; quant aux termes en ^"'+/^v«+ï et x"''^p y^'^'^ ^ 

 pour lesquels m<^o ou n<^o. ils disparaissent quand on dérive les cro- 

 chets. 



L'ordre de (5) est égal au degré de P^,^ augmenté de p -+- </, l'ordre 

 de (5') au degré de Q^^^, augmenté de p' + q . Les équations des fonc- 

 tions hypergéométriques générales se déduisent, comme cas particulier 

 de (5) et (5'), en faisant ^ = 1,^ = 0, /j' = o. ^' = i . 



IIL II devient inutile de dériver les crochets lorsque les polynômes P 

 et O sont tels que P,.^(m, n) et Q,.g(m, n) contiennent en facteur A'„,^,.A^,^,, 

 condition qui s'exprime par l.es relations 



Le système s'écrit alors simplement 



s ). 



11 



œi'-'' \i' 



■Jyl^ 



Ox' Oy 



^zz o, 



(6' 



i.k \r,s 



.,.. à'-'^^ 



JC' ) 



O.i-J Or'' 



o; 



en outre l'équation (6) est divisible par xPy'i et (6' ) par x'^'y'''. 

 Supposons, pour donner un exemple, que l'on ait 



n,...An>, /0 = ,y-r..s-A;;,^.,,Af,+,. 



