342 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Sg les sphères passant par F qui touchent respectivement S aux points A, B. 

 Trois cas peuvent se présenter : ou bien ces sphères sont réelles, ou bien 

 elles sont imaginaires conjuguées et de rayons non nuls, ou bien ce sont des 

 cônes isotropes. Dans les deux premiers cas, appelons S,, S^, les sphères qui 

 bissectent l'angle des sphères S^, S,j. Dans le troisième cas, appelons S,, Sa 

 deux sphères réelles quelconques qui se coupent orthogonalement suivant F. 

 Désignons respectivement par M,, N, et Mo, X. les points de contact 

 avec Zdes sphères S, et S2. Soient S., et S3 les sphères qui coupent ortho- 

 gonalement F aux points M,, N, et M., No. Ces sphères sont orthogonales. 

 Les sphères S,, S^, S3, S,,, S,; forment un pentasphcre dont nous désignerons 

 les rotations par ^, yj, Ç,p, g, r, A, u, v, p. Quatre de ces rotations, à savoir 

 V], q, A, u,, sont Jiulles. Dans le troisième cas, on a, en outre, H = ±7^. Cette 

 égalité exprime que les foyers du cercle F décrivent des courbes minima. 



Les coordonnées Ji\, x,^, . . ., x\ de tout point M de F peuvent s'exprimer 

 comme il suit : 



./■,=ro. .rjr^o. jr3=i(i + ^-), .r.., =z i — l^, v^=z2t. 



Si I, o, GO sont respectivement les paramètres des points M,, A, B, ta. 

 pour valeur (MM, AB). 



La sphère S qui passe par F et qui touche 1 en M touche 1 en un second 

 point N situé sur F. M et N sont inverses par rapport à S5. Le paramètre 

 de N est égal à — ^. 



f^'angle que S fait avec S, est donné par l'égalité 



/ 4 , . £ I — t' 



Toute sphère tangente à X en M a une équation de la forme 



Zc'Pi(cos0.r, — sin Q.r.,) -+- i .<"3 + -r. + t.r-^ziz o. 



Si V désigne l'angle de cette sphère et de S5, on a cosV = — • 



Les valeurs a', Si" de si qui répondent aux sphères principales sont les 

 racines de l'équation 



p : ,. 



-^2/^ i-ixp — /v) /2_ 2 /ç/ + p _4_ /,;j + /■/ cp( /) — /Ym /(i — /i ) L'îi 



— ( — -^ — E sin & — i pcosO \(o {/) = 0, 



