SÉANCE DU 8 AOUT I92I. 



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étant posé 



cp(/) = (i + <^)^- [i^i^-ry-. 



Pour que l'on ail ,11'+ A" = o en tout point de i, il faut et il suffit que la 

 sphère S , soit fixe et que la droite AB engendre une surface minima dans 

 la métrique non euclidienne dont S;> est la sphère fondamentale. 



Le produit de ca'.a" a ])onr expression 



(T> 



Jl'c1l" = 





Les valeurs de .il'.iv" aux points M et N sont égales. 



En vvie de donner niiv égalités (A) et (B) leur forme définitive, nous distinguerons 

 deux cas. 



Premier cas : Les points A el B sont imaginaires conjugués. — Soit /B le rayon de 

 la sphère S.;. M, est réel; par suite, pour tout point M réel, / est imaginaire et de module 



égal à I. Si Ton pose / =3 ^ '*. les formules (A) el (B) deviennent 



(A') langer-- tangTT) 



p ^ W 



(B'; 



.'ti'.'ti"^^ 



B 



P. 





Soient P,, P les intersections de AB et des droites MiiN,, MiN. A est égal au 

 segment PP|, évalué dans la métrique non euclidienne dont S:; est la sphère fondamen- 

 tale. 



Lorsque _M décrit [\ le produit A'cH" \;irie entre ( V7 ) et ( ^ | • Donc, pour que 



c'(l'<''l" soit constant, il faut el il suffit que l'on ait > =±:/?. Alors ifi'A"=zi. 



Deuxième cas : Les points A et B sont réels. — Soit B le rayon de S.,. Un des 

 couples (iVl,, Nj), (iM^, N2) est réel, l'autre est imaginaire. Supposons ([ue le C()U])le 



(M], N, ) soit réel et que M, appartienne à la partie de V extérieure à S;;. Si M appartient 



A 

 à la même partie de T, / est réel et positif. Posons /rrr'', les formules (A) et (B) 

 s'écriront 



(A") 

 (B") 



tan g 9 =r — /— th —, 



A a la même signification géométrique qvie dans le premier cas. 



En verlu de (A."), - est purement imaginaire. I^ar suite, lîîl'iR." est négatif. Si M tend 

 vers A ou vers B, A' A" tend vers — x. 



