SÉANCE DU 8 AOUT I92I. 345 



Je considère d'autre part les demi-droites d^''' définies par 



r — ( '2 A -t- I ) 77, .r £ o ( /.■ = 0, ± I , =fc ?. . . . ) 



et qui. sont invariantes par la substitution (i). Sur ces demi-droites, à 

 l'exclusion des extrémités A^ d'affixes {ik -^ 1)^7:, les 9„(^) tendent vers 

 l'infini; mais il n'en est plus de même dans un domaine arbitrairement 

 petit contenant un point de r/^'; les d'-'' appartiennent à l'ensemble parfait F 

 des points autour desquels aucune suite extraite des 9„(^) ^^ converge, au 

 sens large (') et uniformément. F peut aussi être défini : i" comme la fron- 

 tière du domaine D formé par les points où les 9«(-) convergent uniformé- 

 ment vers l'infini; D est d'un seul tenant, simplement connexe, et l'en- 

 semble D H- F coïncide avec le plan tout entier; 1° comme l'ensemble dérivé 

 des antécédents d'un point quelconque du plan; F est constitué notamment 

 par les demi-droites t/et les courbes antécédentes c (ces lignes d et c joi- 

 gnant chacune un point à distance finie au point à l'infini et ne se coupant 

 pas elles-mêmes ni entre elles à distance finie), ce système de lignes étant 

 complété par l'adjonction de certains points limites en nombre infini qui 

 n'appartiennent à aucune d'elles, entre autres les points périodiques 

 d'ordre ^ i . 



Les résultats que nous venons d'énoncer s'obtiennent aisément à partir 

 des remarques qui précèdent, en utilisant d'autre part les procédés de 

 démonstration que nous avons employés pour traiter les mêmes questions 

 dans le cas des substitutions rationnelles. On vérifie en outre facilemeni 

 que le système des lignes c eld constitue une figure symétrique par rapport 

 à toutes les d. 



Ceci posé, on démontre bien simplement le fait suivant : tout point des 

 lignes d et c, à V exclusion de leurs extrémités^ est inaccessible relativement à\). 

 Il suffit de démontrer la chose pourr/'"^; supposons qu'un point I* intérieur 

 à r/f"' soit accessible et soit MP un arc de courbe simple dont tous les points 

 sauf P sont intérieurs à D; d'autre part k^{z = ir.) est accessible notam- 

 ment par t<tus les chemins intérieurs au demi-plan A; on peut joindre M 

 et A,, par une ligne simple intérieure à D ne rencontrant pas iNlP, et l'on 

 forme ainsi le contour simple MA,, P ou i qui divise le plan en deux régions ; 

 comme tout point du segment A^P est limite de points appartenant à des 

 courbes c, la symétrie remarquée tout à l'heure montre qu'il y a des 

 courbes c qui ont des points à l'intérieur de ib, et ceci est évidemment 



C) G'esl-à-dire que nous n'excluouà )Da5 la convergence vers rinlini. 



