SÉANCE DU 8 AOUT I92I. 347 



un groupe de coordinations quaternaires et un seul, isomorphe an groupe des 

 27 droites^ j'empUssant les conditions B. 



J'ai pu, en parlant du résultat de M. Bagnera, légèrement précisé, et 

 sans faire appel à des considérations étrangères à la théorie des groupes, 

 établir l'existence du groupe remplissant les conditions B. 



Ce groupe, s'il existe, contiendra quatre homologies d'ordre 3 que l'en 

 peut, par un choix convenable des coordonnées t('tra('driques, mottre sous 

 la lorme 



/.' := I — (£ ^ 2):ri, Î^.C, -h j:-:j-t-^i, ^2+ î'-xs + J^'i, ^2+ ^i + S-vCi (, 

 m= B'x-i-h J^3 — x'i, — {z -h 2)a:i, .ri+ î-Xs— a^i, — x, — œ^-h c'-Xi], 



£2^ £ + 1 = 0. 



'On voit facilement que AY est primitif. Si donc il est d'ordre lini, ce sera 

 un groupe remplissant les conditions B. Or, W transforme le tétraèdre de 

 référence en au moins 40 tétraèdres dont on peut donner la représentation 

 suivante : 



Ta+3= [^^-.i- sy+Kvi—x.,+ t^-^X,], Ta+6= [x.. £Ï^'.r,+ =^-^ x^— x^], 



Ta^H+9ix= [a^='x^+ix,-x., E2H-.r.+ £^3+ ^v £'^' (I - 0^. + î'-^l' - ^^')^^-2 



+ (i~£'^^')j?3+ (i — c'')x., (a + j3 + i^.))], 



+ (i — £§)a'3-+-£(i — £2-')j?,-.. (a + S — r Ezio)], 



TaH-i8^9a= [£'*J?i-+- x^—cXi, i*\^x, -h J?3 + ^^'4, c1'+'(i — 3)a-i-r £^!^-(l — £'')x.2 



-hs{i-c^^')x,+ {i — c^-')x;. (a + 3 = o)], 



où a = 2, 3, 4; [6, A, a = o, 1,2; les quatre fonctions linéaires entre [ ] 

 sont les premiers membres des équations des plans des faces du tétraèdre. 

 Au moyen de cette représentation, il est assez facile de déterminer les 

 actions de h, k, /, m, qui permutent entre eux ces 4o tétraèdres. 



yVlors si Wrt désigne le diviseur de W fixant chaque sommet de T,. on a 

 (W, 1)^24 X 4o X (W„, 1 ).('). Toute collinéation de W^ est de la forme 

 0- — (a^,, [Îj:-2, - j:-3, Sa-..), chacun des multiplicateurs étant de la forme 

 ai+-0, a el b entiers rationnels. Or si F désigne la forme hermitienne 

 llxiCCi, on voit que AF/7=/F/ = F, kFk = mFm = 3F ('). lien résulte 



(') Voir puur ces notalions : de Seguier, Comptes rendus, l. 157, ujy'^, p- 43o; 

 t. 161, 191.5, p. 161 et 553, el Journal de ïUathénialic/ues. y" série, t. -2. 1916. p. 282. 



