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directe des quatre fonctions de M. Appell et se distingue par la plus grande 

 simplicité de ses propriétés. Cette classe spéciale est constituée par les 

 fonctions 



/ = v 



/)( 1,rt 



; = 1 u, } 



W ( «/, '« 4- Il ) JJ ( ,3/, m ) ( ^;, « ) 



i = l ;■ = 1 



les seules restrictions nécessaires étant que [j. + v<p4-G--i-i et qu'aucune 

 des constantes y,, S,, o,' ne soit égale à un entier négatif. Il est clair que les 

 fonctions de M. Appell correspondent aux cas particuliers suivants : 



F, F, F,, F, 



/J. I I O 2 



V I I 3 O 



p I O I O 



i (T O I O I 



On pourrait donner aux fonctions F(a7, y), par analogie avec le cas d'une 

 variable ( ' ), le nom de fonctions hyper géométriques cV ordre supérieur^ l'ordre 

 de la fonction étant caractérisé par le nombre w = p + a-. Une fonction 

 d'ordre oj est complète lorsque ij. H- v = w + i . Toute fonction d'ordre (o, 

 telle que ij. 4- v <^ co + i, se déduit par dégénérescence d'une fonction 

 complète de même ordre, comme les fonctions G(a, y, ^) de Kummer 

 et J(y, oc) de Bessel se tirent de F(a, p, y, x) par le procédé que les auteurs 

 anglais appellent confluence des singularités. 



Le nombre des types différents des fonctions complètes d'ordre (x> est égal 

 à a)(>LO -h 3). On l'obtient en cherchant le nombre des solutions acceptables 

 du système : 



|J. -t- V = OJ -1- 1 , p + crrroj, 



desquelles on doit exclure les deux combinaisons : 



/J!. = 0) -H 1 , V irz o , p =: OJ , (7 = o et JJ. - _• o , V =: 0) ~|- I , p = O , C7 =: 6> , 



qui donnent pour F respectivement une fonction de x-+-y et le produit 

 d'une fonction de œ par une fonction de y. 



Pour l'ordre i, les fonctions complètes sont représentées par les quatre 



(') lî. GouRSAT, Sur les fondions hypergéométriqaes d'ordre supérieur {Ann.Ec. 

 I\orm.y t. 12, i883). 



