SÉANCE DU 2 2 AOUT I921. 4o3 



fonctions de M. Appell, les fonctions inconiplèles parleurs dc-géiiérescences 

 récemment étudiées par M. V. Humbert ('). Le Tableau suivant fournit 

 les dix types de fonctions complètes d'ordre 2 : 



1 2 3 4 5 G 7 8 9 10 



[j- 3 3 3 2 2 I I I o o 



V . , o o 1 I I 2 2 2 3 3 



1 o 2 I O 2 I o 2 I 



0" I 2 O I 2 O I 2 O I 



Les fonctions d'ordre 2 incomplètes appartiennent à douze types diffé- 

 rents : sept pour lesquelles u. -h v — - 2, quatre pour lesquelles tj. 4- v = i, 

 une pour laquelle a. -f- v = o. 



IL Toute f onction d'ordre to vérifie un système de deux équations aux déri- 

 vées partielles d'ordre co 4- i, qui se déduisent, comme cas particulier, des 

 équations générales données dans une Note précédente ('-). Les polynômes 

 P, Q, R, S, dont la connaissance suffît pour pouvoir former ces équations, 

 ont ici pour expression 



p = JJ ( Ui + m -^ '0 IJ[ ( Pi+ m); 



(=1 /=i 



Q = JJ (:/.,+ m + /0 W (r'^ + 'O: 

 I = ç, iz=rs 



R ;= ( /?i -h I ) JT ( yi + m -+■ Il ) TT ( ô . -^ m): 



; = 1 / = 1 



I = p 1 = 1 



i = 1 / = 1 



Les polynômes R et S contenant {m + 1) et (« -f- 1) en facteur, il con- 

 vient d'appliquer les formules simplifiées (5) et (5'); d'où le système : 



Les coefficients a^/,, 3^^, p,/,, o-^/, sont des combinaisons linéaires à coefti- 



(') 1^. Hlhbrrt, The confluent hyper géométrie Fiuiclions of two Variatjles {Proc. 

 r. Soc. Edinburgh^ vol. VI, Part I, n" 9). 



(^) Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles des fonctions hyper géo- 

 métriques les plus générales {Comptes rendus^ t. 172, 1921, p. i63'(). 



