436 ACADÉMIE DES SCIENGEf. 



J'ai démontré les propositions suivantes : 



I. A un col isolé ou à un col-foyer n aboutissent pas d'autres caractéristiques 

 que les caractéristiques engendrant une surface^ et la caractéristique isolée^ 

 mises en évidence ( ' ) par Poincaré. 



II. A un point d'une ligne de nœuds ou d\ine ligne de foyers n'aboutissent 

 pas d'autres caractéristiques que les caractéristiques engendrant une surface 

 et mises en évidence (-) par Poincaré. 



III. A un point dUine ligne de cols n aboutissent pas d'autres caractéris- 

 tiques que les deux caractéristiques holomorphes, formant avec la ligne de cols 

 elle-même les trois caractéristiques holomorphes, dont l'existence résultait 

 déjà des travaux (' ) de Briot et Bouquet. 



IV. Toute caractéristique dont la distance d'un point à une ligne de nœuds ^ 

 à une ligne de foyers ou à une ligne de cols tend vers zéro, aboutit à un point 

 déterminé de cette ligne. 



Ce sont là les énoncés les plus simples de chacune des quatre propositions, 

 mais ces énoncés peuvent être complétés. Par exemple, la proposition IV 

 peut être généralisée comme il suit : 



lA '. Soit L une ligne de nœuds, une ligne de foyers ou une ligne de cols du 

 système différcntiel{^C), et soit une caractéristique de ce système, dont une infi- 

 nité d'arcs y y, deviennent successi^>ement infiniment voisins de segments, À, de 

 la ligne L, mais qui dans les intervalles des arcs y peut s'éloigner de la 

 ligne L. La longueur de chacun des segments A et, qui plus est, la longueur 

 de chacun des arcs y, sont infiniment petites. 



Gomme conséquence de la proposition IV, une ligne de nœuds, une 

 ligne de foyers ou une ligne de cols fermées ne peuvent admettre de carac- 

 téristiques asymptotes. 



Gomme conséquence de la proposition IV', une telle ligne ne peut jouer 

 par rapport à aucune caractéristique du système (i) le rôle que, sur les 

 surfaces à courbures opposées d'ordre de connexion supérieur à 2, les géo- 

 désiques fermées jouent par rapport aux géodésiques restant à distance 

 finie et qui ne sont ni fermées ni asymptotes à des géodésiques fermées ('). 



La démonstration des propositions précédentes paraîtra dans un autre 

 Recueil. 



(') Journal de Mailiéinatiques, l\^ série, t. 2, 1886, p. 157. 



C) Ibld., p. 164. 



(^) Journal de l'Ecole Polytechnique^ 36" cahier, i856, p. iSS-igS. 



('•) Cf. IIadamard, Journal de Mathématiques, 5<= série, t. 4, 1898, p. G8. 



