458 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



communiqué une idée comment on pourrait d('moiilrer ce théorème pour 

 toute fonction d'une variable réelle (mesurable ou non). Le but de cette 

 Noie estde démontrer un théorème, un peu plus général, que voici : 



L^ ensemble de points ac, où la dérivée à droite f'^i^x) = -f- ce, est de mesure 

 nulle pour toute fonction /"( r) (Tune rariablc réelle. 



Soit /"(.r) une fonction donnée d'une variable réelle. Désignons par E 

 l'ensemble de points x où la dérivée à droite, fl{x), est ±= 4- ce. Pour tout 

 point ./; de E existe évidemment un nombre positif 0^ lel que pour tout 

 nombre 'i intérieur à l'intervalle (iP, ./; — 0,.) subsiste l'inégalité 



(I) f{-r)<f{t). 



Désignons par E„ l'ensemble de ces points de E pour lesquels existe un 

 nombre 0^ > - tel que l'inégalité ,/; < H < a? -h 0^ entraîne l'inégalité (i). 

 (L'ensemble E„ est évidemment toujours contenu dans E„^., et nous avons 

 E = E, + E,+ E, + ....) 



Si chacun des ensembles E„ avait une mesure nulle, notre théorème serait 

 démontré. Admettons donc que l'ensemble E/^ ne jouit pas de cette propriété 

 (c'est-à-dire a une mesure positive ou bien est non mesurable). Dans ce cas 

 il existe évidemment un intervalle A = (a, ^) de longueur <^ t tel que 

 l'ensemble AE^ (la portion de E^t contenue dans A) n'est pas de mesure 

 nulle. 



Soient x^ et .r. > ^r, deux points de l'ensemble AE;^. D'après la définition 

 de l'ensemble E/^ et la propriété de l'intervalle A, nous concluons que l'iné- 

 galité (i) subsiste pour x =^ x^ et E = .r^, ce qui donne 



/(.r,)</(.r,). 



Il en résulte que la fonction y( a;) est croissante dans l'ensemble AE'^. 



Définissons maintenant dans l'intervalle A = (/^/, ^) la fonction '^{x) 

 comme borne supérieure de tous les nombres /"(O pour a'^^'Sx', 'j'{x) 

 sera évidemment une fonction non décroissante dans (*'/, h), donc aura, 

 comme l'on sait, presque partout une dérivée finie. L'ensemble Ob, où la 

 fonction o(x) ne possède pas de dérivée finie, est donc de mesure nulle. 



On voit sans peine que pour tout point x de l'ensemble AE/^ qui est limite 

 d'une suite décroissante de points de cet ensemble, nous avons cp^(^) = H-so 

 [puisque /^(^) ^ -h :o et z>(t) = f(t) dans AE^t]- Il en résulte que l'en- 

 semble AE^f, sauf peut-être un nombre fini ou une infinité dénombrable de 



Moscou {Malieinatilschesky Sbornik)^ vol. 28 (en russe).— - C. G.-C.Young, Comptes 

 rendus^ t. .162, 19 16, p. 909. 



