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qui met en évidence les indices caractéristiques [j., v, p, ct (permettant de déter- 

 miner l'ordre et la classe) et les constantes (au nombre de [x -t- 2V -h p + 2cr) 

 dont elle dépend. 



Etant donnée une fonction d^ ordre co et de classe 6, on peut trouver 6 -!- i 

 fonctions complètes du même ordre co, dont elle se déduit par confluence. Dési- 

 gnons, en effet, par [x, v, p, o- les indices caractéristiques de la fonction 

 donnée; soient a.' et v' deux entiers positifs tels que a' -h v'— 6 ; les indices 

 fj. -t- [),' , V -h v', p, (7 seront caractéristiques d'une fonction complète. Suppo- 

 sons que dans cette fonction complète les u, premières constantes a, les 

 2v premières constantes ^, ^' et toutes les constantes y, o, o' aient les mêmes 

 valeurs que dans la fonction donnée; en outre, pour celles qui restent, 

 posons 



«,= £-• (f- — ^a +1, . . ., [J. + p.'); j3/=:[3;- = £-1 (fr= v + t, . . ., v4-v') 



et remplaçons x,y par i^x, £^y ; puis faisons tendre £ vers zéro. La limite de 

 la fonction complète est évidemment la fonction donnée. Cette proposition 

 permet de déduire les propriétés d'une fonction de classe ô (système d'équa- 

 tions aux dérivées partielles, relations entre les intégrales particulières de 

 ce système, etc.) par passage à la limite à partir d'une fonction complète du 

 même ordre. 



D'une manière plus générale, étant donnée une fonction d'ordre to et de 

 classe 6, il existe ô — 0' + i fonctions de même ordre co et de classe 0' infé- 

 rieure à G, dont on peut la déduire par confluence. Voici quelques propriétés 

 élémentaires des fonctions d'ordre et de classe quelconques : 



1° La dérivée partielle, prise p fois par rapport à ^r et ^ fois par rapport 

 à j, d'une fonction hypergéométrique est égale à la fonction du même type 

 que l'on en déduit en remplaçant toutes les constantes 



a, p, (3', y, ô, à' 



respectivement par 



a + P + q, ,S •+-yj, ?i'+q, y-^p-^q, ^^+p,, o'-^q, 



cette fonction étant multipliée par la constante 



^(a,/J+y)^(.5,/>)((3^. y) 

 n{y,p + q)n{d,p){d',q)' 



2° Les fonctions hypergéométriques s'expriment par des intégrales 

 définies de types divers généralisant l'intégrale de Gauss. Par exemple, 



